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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Grenzwerte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:23 Di 25.01.2011
Autor: Weltuntergang

Aufgabe
lim     [mm] (2*cos(x)-1)^\bruch{1}{x^2} [/mm]
x->0

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo Freunde,

heute geht es um die Grenzwertbestimmung von Funktionen, bei denen ein Exponent an der Klamemr steht.

Laut Plot schwankt der Graph zwischen 1 und -3, je nach Klammerstzung entsteht auch so ein .. zerhackter Graph?

Wenn ich x im Exponenten gegen 0 gehen lasse, wird der Exponent ja unendlich groß, und damit die ganze Funktion.
Und mit cos(0)=1 steht in der Klammer letztlich (2-1).

Aber wie ist der Rechnerische Ansatz für solche Aufgaben?

Sicher den Exponenten vor die Klammer bekommen?

Also den Exponenten unter den Bruchstrich bekommen, und dann mit ^-1 vor die Klammer setzen?
Oder logarithmieren?

MfG W*

        
Bezug
Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 Di 25.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Weltuntergang,

> lim [mm](2*cos(x)-1)^\bruch{1}{x^2}[/mm]
> x->0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Freunde,
>
> heute geht es um die Grenzwertbestimmung von Funktionen,
> bei denen ein Exponent an der Klamemr steht.
>
> Laut Plot schwankt der Graph zwischen 1 und -3, je nach
> Klammerstzung entsteht auch so ein .. zerhackter Graph?
>
> Wenn ich x im Exponenten gegen 0 gehen lasse, wird der
> Exponent ja unendlich groß, und damit die ganze Funktion.
> Und mit cos(0)=1 steht in der Klammer letztlich (2-1).
>
> Aber wie ist der Rechnerische Ansatz für solche Aufgaben?

Na klar!

Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b}\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm]

Schreibe hier also um:

[mm](2\cos(x)-1)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\frac{\ln(2\cos(x)-1)}{x^2}}[/mm]

Nun bedenke, dass die Exponentialfunktion stetig ist, dass also

[mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm] ist.

Picke dir also den Exponenten heraus und untersuche, was der für [mm]x\to 0[/mm] treibt. (de l'Hôpital kann helfen)

Dann am Ende [mm]e^{(\ldots)}[/mm] nicht vergessen!

>
> Sicher den Exponenten vor die Klammer bekommen?
>
> Also den Exponenten unter den Bruchstrich bekommen, und
> dann mit ^-1 vor die Klammer setzen?
> Oder logarithmieren?
>
> MfG W*

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Di 25.01.2011
Autor: Weltuntergang

Auf die Idee, dass e hoch ln zu nehmen ... ich nicht...

Dann zum Exponenten:

Hóspital-> getrennt ableiten:

macht: [mm] \bruch{\bruch{-2sin(x)}{2cos(x)-1}}{2x} [/mm]

oder [mm] \bruch{-2sin(x)*2x}{2cos(x)-1} [/mm]

Der Exponent geht mMn (..vorsicht) gegen Null, allein schon wegen 2x.

e nicht vergessen:

[mm] e^{0} [/mm] = 1

Richtig so? :?:

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:35 Di 25.01.2011
Autor: fencheltee


> Auf die Idee, dass e hoch ln zu nehmen ... ich nicht...
>  
> Dann zum Exponenten:
>  
> Hóspital-> getrennt ableiten:
>  
> macht: [mm]\bruch{\bruch{-2sin(x)}{2cos(x)-1}}{2x}[/mm]
>  
> oder [mm]\bruch{-2sin(x)*2x}{2cos(x)-1}[/mm]

hier kommt das 2x zum nenner, nicht in den zähler (doppelbrüche nochmal anschauen). dann nochmal de l'hopital

>  
> Der Exponent geht mMn (..vorsicht) gegen Null, allein schon
> wegen 2x.
>  
> e nicht vergessen:
>  
> [mm]e^{0}[/mm] = 1
>  
> Richtig so? :?:

gruß tee

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 Di 25.01.2011
Autor: Weltuntergang

OK, auch wenn ich das mit Doppelbrüchen anders in Erinnerung hatte...

[mm] \bruch{-2sin(x)}{2x(2cos(x)-1)} [/mm]

[mm] \bruch{-2sin(x)}{2(x*cos(x)-\bruch{1}{2})} [/mm]

[mm] \bruch{-sin(x)}{x*cos(x)-\bruch{1}{2}} [/mm]

Hòspital, extra ableiten

[mm] \bruch{cos(x)}{cos(x)-x*sin(x)} [/mm]

Gehx gegen Null,

[mm] \bruch{1}{1-0*0} [/mm] = 1

Dieses mal richtig?

MfG :-)

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 Di 25.01.2011
Autor: fencheltee


> OK, auch wenn ich das mit Doppelbrüchen anders in
> Erinnerung hatte...
>  

und scheinbar hast du bruchrechnung im gesamten anders in erinnerung. wie kommst du von dem 1. term auf den 2.?

> [mm]\bruch{-2sin(x)}{2x(2cos(x)-1)}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{-2sin(x)}{2(x*cos(x)-\bruch{1}{2})}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{-sin(x)}{x*cos(x)-\bruch{1}{2}}[/mm]
>  
> Hòspital, extra ableiten
>  
> [mm]\bruch{cos(x)}{cos(x)-x*sin(x)}[/mm]
>  
> Gehx gegen Null,
>
> [mm]\bruch{1}{1-0*0}[/mm] = 1
>  
> Dieses mal richtig?
>  
> MfG :-)

-1 sollte heraus kommen

gruß tee


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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mi 26.01.2011
Autor: Weltuntergang

Hm naja ich habe zum 2. Bruch die 2 aus dem Nenner herausge..zaubert.

Ich habe das heute nochmal versucht:

[mm] \bruch{-2sin(x)}{2x(2cos(x)-1)} [/mm] | 2 kürzen

[mm] \bruch{-sin(x)}{x(2cos(x)-1)} [/mm]   | Nenner ausmultiplizieren

[mm] \bruch{-sin(x)}{2*x*cos(x)-x} [/mm]

Jetzt wieder L'Hopital und getrennt ableiten?

MfG W~~ :-)

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Mi 26.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Hm naja ich habe zum 2. Bruch die 2 aus dem Nenner
> herausge..zaubert.
>  
> Ich habe das heute nochmal versucht:
>  
> [mm]\bruch{-2sin(x)}{2x(2cos(x)-1)}[/mm] | 2 kürzen
>  
> [mm]\bruch{-sin(x)}{x(2cos(x)-1)}[/mm]  [ok]  | Nenner ausmultiplizieren

Nicht nötig!

>  
> [mm]\bruch{-sin(x)}{2*x*cos(x)-x}[/mm]
>  
> Jetzt wieder L'Hopital und getrennt ableiten?

Ja, wieso geht das?

Und nimm am besten den Term mit dem nicht ausmultiplizierten Nenner ...

>  
> MfG W~~ :-)

Gruß

schachuzipus


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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Mi 26.01.2011
Autor: yuppi

Ich habe heute den Übungsleiter gefragt wieso wir nicht l Hospital gemacht haben. Er meinte, dass das bei unseren Aufgaben nicht notwendig sei.

Also für HÖMA 1. Heißt das das es momentan zeitverschwendung ist bezüglich der Klausurvorbereitung wenn ich es mir aneigne, oder kann ich es vielleicht bei ein paar leichteren Aufgaben ebenfalls anwenden. Also L Hospital.

Übrigens habe ich nicht verstenden wieso in diesem Fall Hospital angewendet wurde.

ln(2cos(x)-1)=  ist doch bei limes gegen 0 1

und der Nenner [mm] 0^2 [/mm] War das der Grund. ?

Weil der Nenner gegen unendlich verläuft, oder ?

Bezug
                                                                        
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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Bedingung für de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Do 27.01.2011
Autor: Loddar

Hallo yuppi!


Herrn de l'Hospital darf ich bemühen bei Grenzwerten mit den unbestimmten Ausdrücken [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] bzw. [mm] $\pm\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] .

Der Term [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\ln\left[2*\cos(x)-1\right]}{x^2}$ [/mm] ist von der Form [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] .


Gruß
Loddar


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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 Do 27.01.2011
Autor: Weltuntergang

So, dann mal los:

[mm] \bruch{-sin(x)}{x(2cos(x)-1)} [/mm]

Zähler und Nenner ableiten:

[mm] \bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)+1} [/mm]

macht für x gegen 0

[mm] \bruch{1}{2*1+1} [/mm]

[mm] \bruch{1}{3} [/mm]

-> [mm] e^\bruch{1}{3} [/mm]

richtig?

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Do 27.01.2011
Autor: fred97


> So, dann mal los:
>  
> [mm]\bruch{-sin(x)}{x(2cos(x)-1)}[/mm]
>  
> Zähler und Nenner ableiten:
>  
> [mm]\bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)+1}[/mm]

Nein. Richtig: [mm]\bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1}[/mm]

FRED

>  
> macht für x gegen 0
>  
> [mm]\bruch{1}{2*1+1}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> -> [mm]e^\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> richtig?  


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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:21 Do 27.01.2011
Autor: Weltuntergang

Einmal noch...

[mm] \bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1} [/mm]

Für x gegen 0

[mm] \bruch{1}{0+2*1-1} [/mm]

[mm] \bruch{1}{1} [/mm] =1

-> [mm] e^1 [/mm] = 0

jetzt aber?

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:23 Do 27.01.2011
Autor: fred97


> Einmal noch...
>  
> [mm]\bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1}[/mm]
>  
> Für x gegen 0
>  
> [mm]\bruch{1}{0+2*1-1}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{1}{1}[/mm] =1
>  
> -> [mm]e^1[/mm] = 0
>  
> jetzt aber?

Nein.             -cos(0)=-1

FRED


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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Do 27.01.2011
Autor: Weltuntergang

Kann nicht mehr lange dauern

[mm] \bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1} [/mm]

x gegen 0

[mm] \bruch{-1}{(2*-1)-1} [/mm]

[mm] \bruch{-1}{-3} [/mm]

Macht jetzt [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

Also [mm] e^\bruch{1}{3} [/mm] ?

Hatte ich bei einer anderen (falschen) Rechnung schon mal bekommen :-)

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Do 27.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo noch einmal,

> Kann nicht mehr lange dauern

Wer weiß? ...

>
> [mm]\bruch{-cos(x)}{-2xsin(x)+2cos(x)-1}[/mm]
>
> x gegen 0
>
> [mm]\bruch{-1}{(2*\red{-1})-1}[/mm] [notok]

[mm]\cos(x)[/mm] geht für [mm]x\to 0[/mm] gegen [mm]\cos(0)=1[/mm]

Also geht der Bruch gegen [mm]\frac{-1}{(2\cdot{}1)-1}=\ldots[/mm]

>
> [mm]\bruch{-1}{-3}[/mm]
>
> Macht jetzt [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Also [mm]e^\bruch{1}{3}[/mm] ?
>
> Hatte ich bei einer anderen (falschen) Rechnung schon mal
> bekommen :-)

Jo, das bleibt auch falsch!

Gruß

schachuzipus


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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:43 Do 27.01.2011
Autor: Weltuntergang

Ja, aber die -1 vom Zähler gleich nochmal verwendet...

Also kommt [mm] \bruch{1}{-1} [/mm] raus, und damit e^-1?

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Do 27.01.2011
Autor: fred97

$ [mm] \bruch{-cos(0)}{-20sin(0)+2cos(0)-1} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2-1}=-1$ [/mm]

FRED

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Do 27.01.2011
Autor: Weltuntergang

Erstmal wieder danke für die Hilfe :-)

Ich hab das nochmal bei der nächsten Aufgabe versucht:

lim   [mm] (3x+1)^\bruch{1}{6x} [/mm]
x->0

wird zu [mm] e^\bruch{ln(3x+1)}{6x} [/mm]

oder [mm] e^\bruch{ln (x(3+\bruch{1}{x})}{6x} [/mm]

für x->0 kommt [mm] \bruch{0}{0} [/mm] raus, also L'Hopital

[mm] \bruch{\bruch{3}{3x+1}}{6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{(3x+1)*6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{18x+6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{18*0+6} [/mm] = [mm] \bruch{3}{6} =\bruch{1}{3} [/mm]   -> [mm] e^\bruch{1}{3} [/mm]

Richtig?

MfG WO´´

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Grenzwerte mit gebr Exponenten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:42 Do 27.01.2011
Autor: MathePower

Hallo Weltuntergang,

> Erstmal wieder danke für die Hilfe :-)
>  
> Ich hab das nochmal bei der nächsten Aufgabe versucht:
>  
> lim   [mm](3x+1)^\bruch{1}{6x}[/mm]
>  x->0
>  
> wird zu [mm]e^\bruch{ln(3x+1)}{6x}[/mm]
>  
> oder [mm]e^\bruch{ln (x(3+\bruch{1}{x})}{6x}[/mm]
>  
> für x->0 kommt [mm]\bruch{0}{0}[/mm] raus, also L'Hopital
>  
> [mm]\bruch{\bruch{3}{3x+1}}{6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{(3x+1)*6}[/mm] =
> [mm]\bruch{3}{18x+6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{18*0+6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{6} =\bruch{1}{3}[/mm]


Hier hast Du Dich verschrieben:

[mm]\bruch{3}{18x+6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{18*0+6}[/mm] = [mm]\bruch{3}{6} =\bruch{1}{\blue{2}}[/mm]


>   -> [mm]e^\bruch{1}{3}[/mm]

>  
> Richtig?
>  
> MfG WO´´


Gruss
MathePower

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