Grenzwerte durch l'Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a) [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} x*sin(\bruch{1}{x})$
[/mm]
b) [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{e^x-1})$
[/mm]
c) [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{e^x+e^{-x}-2}{x²})$
[/mm]
d) [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}})$ [/mm] |
Hallo!
Bin grand am Wiederholen fürs Abi. Kann Mir jemand den Lösungsansatz (bzw. -Weg) für die a) und die d) geben?
Für die b) habe ich (nach mehrmaligem anwenden von l'Hospital) das hier raus
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{e^x-1}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{2+x}) [/mm] = 0,5$
und für die c) folgendes
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{e^x+e^{-x}-2}{x²}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{e^x+e^{-x}-2}{2}) [/mm] = 1$
Stimmen diese Ergebnisse?
Ich danke euch für eure Hilfe!
Gruß miniscout ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Di 13.03.2007 | | Autor: | jomi |
Hallo,
Bei keiner der Aufgaben (ausser c)) kannst du den Satz von de l'Hopital direkt anwenden weil die bedinungen nicht erfüllt sind:
bei a)
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x*sin(\bruch{1}{x})[/mm]
das musst du erst umformen damit du " [mm] \bruch{0}{0} [/mm] " erhälst:
f(x) = [mm] \bruch{sin \bruch{1}{x}}{\bruch{1}{x}}
[/mm]
dann kannst du die den Grenzwert mit de L'Hopital bestimmen:
[mm] \lim_{x \to \infty} \bruch{\cos \bruch{1}{x} * (-x^{-2})}{x^{-2}} [/mm] = [mm] \lim_{x \to \infty} -\cos \bruch{1}{x} [/mm] = -1
b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{e^x-1})[/mm]
mein Tipp hierzu wäre das du mal die Brüche erweiterst und zusammenfasst und dann schaust was rauskommt ich.
c) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{e^x+e^{-x}-2}{x²})[/mm]
hier kannst du direkt de L'Hospital anwenden aber es geht eher in Richtung [mm] \infty [/mm] als 1
d) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (\bruch{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}})[/mm]
hier würde ich auf De L'Hopital ganz verzichten:
= [mm] \lim_{x \to \infty} \bruch{e^x * (1+ \bruch{1}{e^2x})}{e^x * (1 - \bruch{1}{e^2x})} [/mm] = 1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Di 13.03.2007 | | Autor: | miniscout |
Hallo zurück!
Am Rande: Dir ist ein kleiner Fehler unterlaufen, bei der a) lautet die erste "Ableitung"
$ [mm] \lim_{x \to \infty} \bruch{\cos \bruch{1}{x} \cdot{} (-x^{-2})}{-x^{-2}} [/mm] $
woraus der Grenzwert
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x\cdot{}sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 1$
folgt.
Trotzdem ein dickes DANKE!!
Gruß miniscout
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Di 13.03.2007 | | Autor: | miniscout |
Hallo!
Mir ist ein Fehler unterlaufen.
b) und c) lauten folgendermaßen:
| Aufgabe | b) $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{1}{x}-\bruch{1}{e^x-1}) [/mm] $
c) $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0} (\bruch{e^x+e^{-x}-2}{x²}) [/mm] $ |
Ciao minicout ![[read]](/images/smileys/read.gif "[read]")
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