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Grenzwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:37 So 20.05.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
Berechnen Sie de Grenzwerte der folgenden Folgen (soweit sie existieren)
a) n * sin(1/n)
b) [mm] \wurzel[n]{1+ 1/n} [/mm]
c) [mm] \frac{2^n +1}{2^n +3} [/mm]

a)
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] n * sin(1/n) = [mm] lim_{n-> \infty} \frac{sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} [/mm]

Hospital
= [mm] lim_{n->\infty} \frac{- cos(\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n^2}} =lim_{n->\infty} \frac{ cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}} =\infty [/mm]

Stimmt das?

b)
Ich weiß laut Vorlesung , x [mm] \in \IR, \wurzel[n]{x}=1 [/mm]
Ist das damit nicht schon gelöst?

c) Hier komme ich nicht weiter.

        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Aufgabe (c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:39 So 20.05.2012
Autor: Loddar

Hallo Lu!


Klammere in Zähler und Nenner [mm] $2^n$ [/mm] aus.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:46 So 20.05.2012
Autor: Lu-


> Hallo Lu!
>  
>
> Klammere in Zähler und Nenner [mm]2^n[/mm] aus.
>  
>

[mm] \frac{2^n * (1+\frac{1}{2^n})}{2^n *(1+\frac{3}{2^n})} [/mm] = [mm] \frac{1+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{3}{2^n}} [/mm]

[mm] lim_{n->\infty} \frac{1+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{3}{2^n}}= [/mm] 1
so?


Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:52 So 20.05.2012
Autor: reverend

Hallo Lu-,

> > Klammere in Zähler und Nenner [mm]2^n[/mm] aus.
>  >  
> >
> [mm]\frac{2^n * (1+\frac{1}{2^n})}{2^n *(1+\frac{3}{2^n})}[/mm] =
> [mm]\frac{1+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{3}{2^n}}[/mm]
>  
> [mm]lim_{n->\infty} \frac{1+\frac{1}{2^n}}{1+\frac{3}{2^n}}=[/mm] 1
>  so?

Ja, genau so.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:57 So 20.05.2012
Autor: reverend

Hallo,

> Berechnen Sie de Grenzwerte der folgenden Folgen (soweit
> sie existieren)
>  a) n * sin(1/n)
>  b) [mm]\wurzel[n]{1+ 1/n}[/mm]
>  c) [mm]\frac{2^n +1}{2^n +3}[/mm]
>  a)
>  [mm]lim_{n->\infty}[/mm] n * sin(1/n) = [mm]lim_{n-> \infty} \frac{sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}[/mm]
>
> Hospital

Soweit ok.

>  = [mm]lim_{n->\infty} \frac{- cos(\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n^2}} =lim_{n->\infty} \frac{ cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^2}} =\infty[/mm]
>  
> Stimmt das?

Nein. Die Ableitung des Zählers stimmt nicht. Kettenregel!

> b)
>  Ich weiß laut Vorlesung , x [mm]\in \IR, \wurzel[n]{x}=1[/mm]
>  Ist
> das damit nicht schon gelöst?

Igitt. Das ist eine ausnehmend unsaubere Angabe. Außerdem ist der Radikand hier ja nicht konstant, also wird sicher eine Abschätzung nötig sein.

Immerhin hast Du Recht: der Grenzwert ist 1, aber Deine Begründung ist vollkommen unzureichend.

> c) Hier komme ich nicht weiter.

Ist ja jetzt schon gelöst, siehe unten.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:09 So 20.05.2012
Autor: Lu-

$ [mm] lim_{n->\infty} [/mm] $ n * sin(1/n) = $ [mm] lim_{n-> \infty} \frac{sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} [/mm] $

Hospital
[mm] lim_{n->\infty} \frac{n^{-2 }* cos(1/n)}{1/n^2} =lim_{n->\infty} [/mm] cos(1/n) = 1

c)
ich weiß nicht, wie ich das genau abschätzen soll.
$ [mm] \wurzel[n]{1+ 1/n} [/mm] $  <= [mm] \wurzel[n]{2} [/mm]
[mm] lim_{n->\infty} \wurzel[n]{2} [/mm] = 1

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:24 So 20.05.2012
Autor: reverend

Hallo Lu-,

wir legen hier Wert darauf, nicht in einem gänzlich anonymen Chat zu sein. So eine Grußformel am Anfang oder Ende eines Beitrags gehört hier daher zum guten Ton. Muss ja nicht lang sein...

> [mm]lim_{n->\infty}[/mm] n * sin(1/n) = [mm]lim_{n-> \infty} \frac{sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}[/mm]
>  
> Hospital
>  [mm]lim_{n->\infty} \frac{n^{-2 }* cos(1/n)}{1/n^2} =lim_{n->\infty}[/mm]
> cos(1/n) = 1

Das ist das richtige Ergebnis. Im Zwischenschritt würde ich das aus der Ableitung von [mm] \tfrac{1}{n} [/mm] resultierende "Minus" ruhig stehen lassen, auch wenn es sich dann ja wegkürzt. Die Rechnung ist dann einfacher nachzuvollziehen.

> c)
>  ich weiß nicht, wie ich das genau abschätzen soll.
>  [mm]\wurzel[n]{1+ 1/n}[/mm]  <= [mm]\wurzel[n]{2}[/mm]
>  [mm]lim_{n->\infty} \wurzel[n]{2}[/mm] = 1

Hm. Im Prinzip richtig. Als Abschätzung nach oben ist das soweit ok. Du bräuchtest aber auch noch eine nach unten (Sandwich...).

[mm] \wurzel[n]{1}\le\wurzel[n]{1+\bruch{1}{n}}\le\wurzel[n]{2} [/mm]

Damit gehts. Das Ergebnis bleibt natürlich 1.

Grüße
reverend


Bezug
        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 So 20.05.2012
Autor: fred97

Zu a): Hospital wo man geht und steht.....

Es geht doch um den GW [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}. [/mm]

Wenn man dafür Hospital benutzt, verwendet man, dass die Ableitung vom Sinus der Cosinus ist. Weiter geht der Mittelwertsatz ein (damit wird Hospital bewiesen). Warum nicht gleich die DEfinition der Ableitung benutzen ?:


f(x):= sin(x)

[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)=cos(0)=1 [/mm]


FRED

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 So 20.05.2012
Autor: nobsy

zu a)
Dieser Grenzwert ist 1. Du hast beim Differenzieren (Hospital) die Anwendung der Kettenregel vergessen. Man sieht es auch so, wenn man es auf [mm] lim_{x->0} [/mm] (sinx)/x =1 zurückführt.

zu c)
Klammere sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenz [mm] 2^n [/mm] aus und kürze sie dann. Die Anwendung der Grenzwertregeln auf den Rest liefert den Grenzwert 1.

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:32 So 20.05.2012
Autor: reverend

Hallo nobsy,

> zu a)
>  Dieser Grenzwert ist 1. Du hast beim Differenzieren
> (Hospital) die Anwendung der Kettenregel vergessen. Man
> sieht es auch so, wenn man es auf [mm]lim_{x->0}[/mm] (sinx)/x =1
> zurückführt.
>  
> zu c)
>  Klammere sowohl im Zähler als auch im Nenner die Potenz
> [mm]2^n[/mm] aus und kürze sie dann. Die Anwendung der
> Grenzwertregeln auf den Rest liefert den Grenzwert 1.

Die Frage stand auf beantwortet, u.a. weil gerade diese Hinweise sich so oder ähnlich auch schon unter den Antworten fanden.

Grüße
reverend


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