Grenzwerte bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Grenzwerte :
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n^{5} + 4n}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{n} [/mm] -1 [mm] )^{n}
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{n} [/mm] * [mm] (\wurzel{n+2}-\wurzel{n}) [/mm] |
Hallo ich bins mal wieder...
Also ich hab da Probleme den Grenzwert auszurechnen.
zu a) habe ich als Ansatz :
[mm] \wurzel[n]{n^{5}} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{n^{5} + 4n} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{n^{5} + n^{5}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2 * n^{5}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] * [mm] \wurzel[n]{n^{5}} [/mm] = 0 für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}
[/mm]
aber ich weiss erstens nicht was mit [mm] \wurzel[n]{n^{5}} [/mm] passiert und ob ich überhaupt den richtigen Ansatz habe.
zu b) dachte ich an die Bernoullische Ungleichung, aber da komm ich dann auch nicht mehr weiter : ( [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] - [mm] 1)^{n}) \ge \wurzel[n]{n} [/mm] - n
für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ist dann der rechte Ausdruck 1 - [mm] \infty [/mm] => also - [mm] \infty [/mm] ??
und zu c) habe ich mehrer Sachen ausprobiert..aber da rechen ich nur rum und komme auf keine bessere Form.
Für ein paar Ansätze wäre ich dankbar!
Grüße Charlie
|
|
| |
|
> Berechnen Sie folgende Grenzwerte :
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n^{5} + 4n}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{n}[/mm] -1 [mm])^{n}[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{n}[/mm] *
> [mm](\wurzel{n+2}-\wurzel{n})[/mm]
> Hallo ich bins mal wieder...
>
> Also ich hab da Probleme den Grenzwert auszurechnen.
>
> zu a) habe ich als Ansatz :
>
> [mm]\wurzel[n]{n^{5}} < \wurzel[n]{n^{5} + 4n} <
\wurzel[n]{n^{5} + n^{5}}= \wurzel[n]{2 * n^{5}}=
\wurzel[n]{2} * \wurzel[n]{n^{5}} = 0[/mm]
> für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
Nein: für eine Zahl $a >0$ ist [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{a}=1$, [/mm] nicht $=0$.
>
> aber ich weiss erstens nicht was mit [mm]\wurzel[n]{n^{5}}[/mm]
> passiert und ob ich überhaupt den richtigen Ansatz habe.
Wie wärs mit
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n^5+4n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n^5}\cdot\sqrt[n]{1+\frac{4}{n^4}}=1\cdot 1=1[/mm]
Wichtig ist hier natürlich zu wissen, dass [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{n^5}=1$ [/mm] ist. Ich weiss nun nicht, was Du über solche Limites wie [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\ln(n)}{n}$ [/mm] weisst. - Der ist nämlich gleich $0$, so dass man, unter Verwendung von [mm] $n=\mathrm{e}^{\ln(n)}$, [/mm] erhält, dass gilt
[mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n^5}=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathrm{e}^{5\frac{\ln(n)}{n}}=\mathrm{e}^{5\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(n)}{n}}=\mathrm{e}^0=1[/mm]
|
|
|
| |
|
Also den Logarithmus hatten wir noch nicht..aber mit der Wurzelaufspaltung ist sehr gut.Danke!
Also zu c) habe ich was raus und zwar :
[mm] \bruch{\wurzel[3]{n}*(\wurzel{n+2} - \wurzel{n})*(\wurzel{n+2} + \wurzel{n})}{\wurzel{n+2} + \wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[3]{n}*2}{\wurzel{n+2} + \wurzel{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[3]{8n}}{\wurzel{n+2} + \wurzel{n}} [/mm]
[mm] =\bruch {\bruch{\wurzel[3]{8n}} {\wurzel{n}}} {\wurzel{\bruch{n}{n}+\bruch{2}{n}} + \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel[6]{\bruch{64}{n}}}{\wurzel{1+\bruch{2}{n}}+1} [/mm] = [mm] \bruch{0}{\wurzel{1}+1} [/mm] = [mm] \bruch{0}{2} [/mm] = 0
ist das so richtig ?
und zu b)!! ( b)meinte ich / hatte mich verschrieben) bräuchte ich immer noch einen tipp...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Sa 12.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht gut aus.
Sagt die d l'Hosptial eitwas? Dann könnte man nämlich
$ [mm] \bruch{\wurzel[3]{n}\cdot{}2}{\wurzel{n+2} + \wurzel{n}} [/mm] $
auch damit berechnen.
Marius
|
|
|
| |
|
> Berechnen Sie folgende Grenzwerte :
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n^{5} + 4n}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{n}[/mm] -1 [mm])^{n}[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{n}[/mm] *
> [mm](\wurzel{n+2}-\wurzel{n})[/mm]
> Hallo ich bins mal wieder...
>
> und zu c) habe ich mehrer Sachen ausprobiert..aber da
> rechen ich nur rum und komme auf keine bessere Form.
Du kannst die problematische Wurzeldifferenz [mm] $\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$ [/mm] loswerden, indem Du sie in den Zähler eines Bruches mit dem Nenner [mm] $\sqrt{n+2}+\sqrt{n}$ [/mm] nimmst ("3. binomische Formel"):
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[3]{n}\big(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\big)=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[3]{n}\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[3]{n}\frac{2}{\sqrt{n}\big(\sqrt{1+\tfrac{2}{n}}+1\big)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2}{\sqrt[6]{n}\big(\sqrt{1+\tfrac{2}{n}}+1\big)}=0[/mm]
|
|
|
| |
|
> Berechnen Sie folgende Grenzwerte :
>
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n^{5} + 4n}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel[n]{n}[/mm] -1 [mm])^{n}[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[3]{n}[/mm] *
> [mm](\wurzel{n+2}-\wurzel{n})[/mm]
> Hallo ich bins mal wieder...
Unter Verwendung von [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}=1$ [/mm] erhält man
[mm]0\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\big(\sqrt[n]{n}-1\big)^n\leq \lim_{n\rightarrow \infty}\big(\tfrac{1}{2}\big)^n=0[/mm]
weil ja für genügend grosses $n$ gilt: [mm] $0\leq \sqrt[n]{n}-1\leq \tfrac{1}{2}$
[/mm]
|
|
|
|
