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Grenzwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 So 10.12.2006
Autor: kateto178

Aufgabe
Man berechne (falls existent) folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch {x - \sin x}{x^3} [/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch {x - \sin x}{x(1 - \cos x)} [/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^\bruch {1}{x} [/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow 1} \bruch {x^a - 1}{ln x}, a \in \IR [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen!
Heute beschäftigt mich diese Aufgabe...
Zu a),b) und d) habe ich folgende Ergebnisse
a) [mm]\bruch {1}{6} [/mm]
b) 0
d) a

Kann sie jemand bestätigen, oder liege ich falsch ?

Und das Problemchen: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x^\bruch {1}{x} [/mm]
Meine Überlegung: [mm]x^\bruch {1}{x} [/mm]  ist dasselbe wie [mm] \wurzel[x]{x} [/mm] und ich weiss,dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[x]{x} = 1 [/mm]
Reicht das? Ich meine, bei a),b) und d) benutze ich die Regeln von l'Hospital und c) scheint mir zu einfach um richtig zu sein...
Ich hab noch hierzu überlegt,dass [mm]x^\bruch {1}{x}=e^\bruch{ln x}{x}[/mm] ist. Aber was dann?!
Vielen Dank im Voraus!
        
Bezug
Grenzwerte berechnen: Korrektur + Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:33 So 10.12.2006
Autor: Loddar

Hallo kateto!



>  Zu a),b) und d) habe ich folgende Ergebnisse
>  a) [mm]\bruch {1}{6}[/mm]

[ok]


>  b) 0

[notok] Hier habe ich 3-maliger Anwendung von de l'Hospital einen anderen Wert heraus: [mm] $\bruch{1}{3}$ [/mm]


>  d) a

[ok]



> Und das Problemchen: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x^\bruch {1}{x}[/mm]
>  
> Meine Überlegung: [mm]x^\bruch {1}{x}[/mm]  ist dasselbe wie [mm]\wurzel[x]{x}[/mm] und ich weiss, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[x]{x} = 1[/mm]
> Reicht das?

Ich denke, dass Du hier aber geneu dies nachweisen sollst ... im übrigen auch mit de l'Hospital.

Es gilt ja:  [mm] $x^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{\ln(x)} \ \right)^{\bruch{1}{x}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{1}{x}*\ln(x)} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{\ln(x)}{x}}$ [/mm]

Aus Stetigkeitsgründen der e-Funktion kannst hier nun den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\ln(x)}{x}$ [/mm] betrachten ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:17 So 10.12.2006
Autor: kateto178

Vielen Dank!
Bin bei b) auch auf [mm] \bruch{1}{3} [/mm] gekommen, hatte bei meiner Lösung irgendwie alles durcheinander ...
Bezug
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