Grenzwerte (Eulersche Zahl) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Fr 30.11.2007 | | Autor: | BenRen |
Hallo zusammen,
ich sehe mich hier mit einer Aufgabe konfrontiert, zu der ich einfach eine hilfreiche Idee habe. Die Aufgabenstellung ist ganz einfach: ich soll die folgenden Grenzwerte bestimmen, die da lauten:
1. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{3}{n})^{n} [/mm] 2. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{3}+\bruch{n+1}{3n})^{n-2} [/mm] 3. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^{\wurzel{n}}
[/mm]
Alle drei sind, so denke ich, sehr ähnlich. Ich weiß, dass folgendes gilt:
e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{e} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^{n}
[/mm]
Das sieht doch stark nach dem Grenzwert oben aus. Hilft mir das hier?
Der 1. Grenzwert z.B. ist gerade [mm] \bruch{1}{e^{3}} [/mm] - aber wie komme ich da hin, um den Grenzwert auch wirklich zu bestimmen und nicht nur zu "raten"?
Ich würde mich über Hilfe sehr freuen - vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Fr 30.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich zeigs dir mal am einfachsten Beispiel :
[mm] (1-\bruch{3}{n})^{n}=((1-\bruch{1}{n/3})^{n/3})^3 [/mm] nenne jetzt n/3=m und du kannst es !
versuch die anderen genauso umzuformen, z. Bsp 2/3 ausklammern um die 1 zu haben usw.
> Ich würde mich über Hilfe sehr freuen - vielen Dank!
Gruss und gute nacht
Leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 So 02.12.2007 | | Autor: | BenRen |
Hallo,
vielen Dank für Deine Antwort, sie hat mir weiter geholfen. Den ersten Grenzwert habe ich so auch berechnet bekommen, ich denke der knackpunkt war, dass ich nicht auf
[mm] \bruch{3}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{n}{3}}
[/mm]
bekommen bin :) Ich habe nun versucht, die 2. ähnlich umzuformen, und bin so weit gekommen:
[mm] (\bruch{2}{3}+\bruch{n+1}{3n})^{n-2}
[/mm]
= [mm] (\bruch{2}{3}(1+\bruch{3(n+1)}{2(3n)}))^{n-2}
[/mm]
= [mm] (\bruch{2}{3}(1+\bruch{n+1}{2n}))^{n-2}
[/mm]
= [mm] (\bruch{2}{3}(1+\bruch{1}{\bruch{2n}{n+1}}))^{n-2}
[/mm]
Nun muss ich ja irgendwie den Exponenten auch auf [mm] \bruch{1}{\bruch{2n}{n+1}} [/mm] bekommen, also derselbe "Trick" wie bei der 1. Aufgabe, nur komme ich da leider nicht weiter. Mein Ziel ist ja [mm] e^{\bruch{1}{3}}.
[/mm]
Ich habe mir noch überlegt, den Term aufzuteilen in
[mm] (\bruch{2}{3})^{n-2} [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{\bruch{2n}{n+1}})^{n-2}
[/mm]
Weiß aber nicht, ob der Schritt noch so sinnvoll war.
Ich würde mich über weitere Hilfe sehr freuen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo BenRen!
Du denkst bei der nötigen Umformung gerade zu kompliziert. Das geht viel einfacher:
[mm] $$\left(\bruch{2}{3}+\blue{\bruch{n+1}{3n}}\right)^{n-2} [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{2}{3}+\blue{\bruch{n}{3n}+\bruch{1}{3n}}\right)^{n-2} [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{\bruch{2}{3}+\bruch{1}{3}}+\bruch{1}{3n}\right)^{n-2} [/mm] \ = \ [mm] \left(\red{1}+\bruch{1}{3n}\right)^{n-2} [/mm] \ = \ [mm] \left(1+\bruch{1}{3n}\right)^n*\left(1+\bruch{1}{3n}\right)^{-2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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