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Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Do 26.04.2012
Autor: Fabian.Dust

Aufgabe
Bestimme den Grenzwert:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})(cos(\frac{1}{n}) [/mm] - [mm] cos(\frac{i-1}{n})) [/mm]

Tipp: Benutze die Riemann-Integrierbarkeit der Funktion [mm] $\sin^2 [/mm] x$

Hallo,

an diesem monströsen Teil sitze ich schon seit Stunden und habe echt keine Ahnung, wie ich das lösen soll.

Habe mit den Additionstheoreme rumprobiert, umgeformt usw. doch dadurch wurde das immer unübersichtlicher und ein Ende schien nicht in Sicht zu sein...

Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben?

        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Fr 27.04.2012
Autor: fred97


> Bestimme den Grenzwert:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})(cos(\frac{1}{n})[/mm]
> - [mm]cos(\frac{i-1}{n}))[/mm]




Das soll wohl lauten:

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})(cos(\frac{i}{n})[/mm] - [mm]cos(\frac{i-1}{n}))[/mm]

Wir setzen  [mm] S_n:= \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})(cos(\frac{i}{n})-cos(\frac{i-1}{n})) [/mm]


Der Mittelwertsatz liefert [mm] t_{i,n} \in [\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}] [/mm] mit:

            [mm] cos(\frac{i}{n})-cos(\frac{i-1}{n})=-\bruch{1}{n}sin( t_{i,n}) [/mm]

Damit ist [mm] S_n=- \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})*\bruch{1}{n}sin( t_{i,n}) [/mm] und

     [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} \sin^2(\frac{i-1}{n}) \le -S_n \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}sin^2( t_{i,n}) [/mm]



Damit konv. [mm] (-S_n) [/mm] gegen [mm] \integral_{0}^{1}{sin^2(x) dx} [/mm]



FRED


>  
> Tipp: Benutze die Riemann-Integrierbarkeit der Funktion
> [mm]\sin^2 x[/mm]
>  Hallo,
>  
> an diesem monströsen Teil sitze ich schon seit Stunden und
> habe echt keine Ahnung, wie ich das lösen soll.
>  
> Habe mit den Additionstheoreme rumprobiert, umgeformt usw.
> doch dadurch wurde das immer unübersichtlicher und ein
> Ende schien nicht in Sicht zu sein...
>  
> Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung
> geben?


Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Sa 28.04.2012
Autor: Fabian.Dust

Hallo Fred,

danke für deine Antwort.

Ich hab dazu noch eine kleine Frage:

Warum kann man das so nach unten / nach oben abschätzen ?

> Damit ist [mm]S_n=- \summe_{i=1}^{n} \sin(\frac{i-1}{n})*\bruch{1}{n}sin( t_{i,n})[/mm]
> und
>  
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} \sin^2(\frac{i-1}{n}) \le -S_n \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}sin^2( t_{i,n})[/mm]
>  




Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Sa 28.04.2012
Autor: leduart

Hallo
für [mm] x\le y\le1 [/mm] 1 gilt [mm] sinx\le [/mm] siny
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Sa 28.04.2012
Autor: Fabian.Dust

Danke leduart.

Das heißt, wir nutzen aus, dass

[mm] \sin (\frac{i-1}{n}) \le \sin(t_{i,n}) \le [/mm] 1

ist?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Sa 28.04.2012
Autor: leduart

Hallo
ja
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
Grenzwerte: Dankeschön
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Sa 28.04.2012
Autor: Fabian.Dust

Vielen Dank euch beiden!

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Sa 28.04.2012
Autor: Marcel

Hallo Fabian,

kleine Bemerkung:

> > ...
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} \sin^2(\frac{i-1}{n}) \le -S_n \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}sin^2( t_{i,n})[/mm]

beachte, dass Fred [mm] $\lim_{n \to \infty}(-S_n)$ [/mm] angegeben hat. Es ist natürlich nicht schwer, damit dann die Existenz und den Wert von [mm] $\lim_{n \to \infty}S_n$ [/mm] zu begründen und zu berechnen - aber aufpassen sollte man dennoch.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 Sa 28.04.2012
Autor: Fabian.Dust

Hallo Marcel,

danke für den Hinweis.

Liebe Grüße,
Fabian.

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