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| Aufgabe | Bestimmen Sie dei Grenzwerte folgender Funktionen:
1. [mm] \limes x^m(log x)^n \in [/mm] (m, n N).
x→+0
2. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (x-sinx)/(x+cosx)
3. [mm] \limes ((sinx)/(x))^{3/x^2}
[/mm]
x→0
4. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((x^2+1)/(x))^{1/2x}
[/mm]
5. [mm] \limes [/mm] ((1/x) - (1/(log(x+1))))
x→0 |
Hmm. Also ich weiß noch nicht genau, wie ich mit den aufgaben Anfangen soll. Deshalb wäre es nett, wenn ihr mir vielleicht erstmal so paar kleine tipps geben könnten, wie ich die sache angehen soll. und falls ich es dann hinbekomme, dann würde ich mich mit den lösungen nochmal melden oder halt fragen stellen, wenn ich nicht weiter komme.
Wäre ganz schön nett.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Mi 28.11.2007 | | Autor: | max3000 |
Schonmal was vom Satz von L'Hospital gehört?
Wenn nicht erkundige dich.
Damit wäre eigentlich fast alles lösbar.
Dort wo kein Bruch steht (z.b. Aufgabe a) da machst du einen draus, also aus
[mm] x^m*log(x)^n
[/mm]
wird
[mm] \bruch{log(x)^n}{\bruch{1}{x^m}}
[/mm]
Zähler und Nenner ableiten und dann sollte der Grenzwert klar sein.
Ich hab das ganze jetzt nicht selbst versucht, also kann auch sein, dass es so nicht geht, aber ich bin doch sehr zuversichtlich ^^.
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hey.. also als kleinen hinweis moechte ich dir das schlagwort "regel von l'hospital" hinwerfen.. vielleicht kannst du an der ein oder anderen stelle auch gebrauchen, dass gilt: [mm] a^{b}=exp(b*ln [/mm] a).. oder im merziger auf seite 85..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Mi 28.11.2007 | | Autor: | jaruleking |
Ok, danke euch erstmal, werde mich mal gleich morgen an das Lösen der Aufgaben wagen, falls es nicht klappt, melde ich mich wieder 
Schönen abend noch.
ciao
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Hallo Freunde, irgendwie komme ich jetzt mit den aufgaben doch nicht klar. ich habe nur die letzte hinbekommen, weil da so ein ähnliches beispiel gefunden habe. die anderen, weiß ich irgendwie noch nicht, wies gehen soll.
1. bei der ersten z.b. weiß ich nicht, was ich mit dem m und n anfangen soll.
2. beim zweiten. irgendwie wenn ich sinx und cosx ableitet, kommt ja was viel besseres raus, was muss man da noch machen?
3. bei dritten, ich weiß nicht, wenn ich die funktonen erstmal ableitet und den exponenten nicht beacht, geht das?
4. die ist ja anlog fast wie die 3.
hoffe, es kann mir wer weiterhelfen.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 So 02.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaruleking!
Bei der 1. Aufgabe wurde Dir doch schon sehr gut vorgelegt oben von Max!
Was erhältst Du denn bei der 2. Aufgabe nach der ersten Anwendung durch Herrn  de l'Hospital?
Bei der 3. Aufgabe musst Du zunächst umformen:
[mm] $$\left[\bruch{\sin(x)}{x}\right]^{\bruch{2}{x^2}} [/mm] \ = \ [mm] e^{\bruch{2*\ln\bruch{\sin(x)}{x}}{x^2}}$$
[/mm]
Nun den Exponenten bzw. dessen Grenzwert für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ betrachten.
Aufgabe 4 geht sehr ähnlich ...
Bei Aufgabe 5 zunächst zusammenfassen:
[mm] $$\bruch{1}{x}-\bruch{1}{\log(x+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\log(x+1)-x}{x*\log(x+1)}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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also bei der 1. habe ich den Ausdruck, den man mir vorgeschlagen hat, mal abgeleitet. dabei kamen aber komische sachen raus, siehe:
(n/lnx)/(-mx^(-m-1)
so lass ich das jetzt gehen null laufen, komme ich auch nicht viel weiter. oder ich habe was falsch gemacht.
bei der 2)
ich leite ab und bekomme: (-cosx)/(-sinx) ja und das jeweils gegen unendlich laufen lassen, hat ja auch nicht so viel gebracht.
die dritte, muss ich mal gucken, ob ich die jetzt so hinkriege
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achja, was ich noch bemerken wollte. kann es auch sein, dass der tipp zu aufgabe 1 nicht ganz korrekt ist???
denn der exponent n, bezieht sich nicht nur auf x sondern auf [mm] (logx)^n [/mm] und das ist ja nicht das selbe wie [mm] log(x)^n [/mm] oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo jaruleking!
> achja, was ich noch bemerken wollte. kann es auch sein,
> dass der tipp zu aufgabe 1 nicht ganz korrekt ist???
Das ist schon korrekt gemeint, wenn auch vielleicht etwas unglücklich dargestellt.
> denn der exponent n, bezieht sich nicht nur auf x sondern
> auf [mm](logx)^n[/mm] und das ist ja nicht das selbe wie [mm]log(x)^n[/mm] oder?
Richtig! Siehe auch meine letzte Antwort.
Gruß
Loddar
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> > bei der 2)
> >
> > ich leite ab und bekomme: (-cosx)/(-sinx) ja und das
> > jeweils gegen unendlich laufen lassen, hat ja auch nicht so
> > viel gebracht.
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hallo,
ich finde das gar nicht :
Wenn ich
2. $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ (x-sinx)/(x+cosx)
mit l'Hospital traktiere, erhalte ich
[mm] \bruch{1-cosx}{1-sinx}, [/mm] woraus ich überhaupt nichts schließen kann.
> Und das kannst Du doch umschreiben zu
> [mm]\bruch{1}{\tan(x)} \ = \ \cot(x)[/mm] .
> Existiert hierfür ein Grenzwert für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] ?
Aber selbst, wenn sich cot(x) ergäbe, könnte man daraus doch keine Information über $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ (x-sinx)/(x+cosx) erhalten, oder stehe ich auf dem falschen Bahnhof?
Es ist doch $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] $ (x-sinx)/(x+cosx) =1 (mit dem Sandwich-Theorem)
Gruß v. Angela
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und wie kommst du dann auf 1??
oh, das mit der ableitung ist ja doch bisschen peinlich geworden. natürlich ist x abgeleitet 1 und nicht 0. habe da voll bisschen gepennt.
aber das mit der 1, versteh ich noch nicht, wie du drauf kommst?
sandwich lemma ist mir bekannt. wenn rechts und links der gleiche grenzwert ist, dann ist auch in der mitte der gleich grenzwert, mal so grob ausgedrückt.
gruß
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> sandwich lemma ist mir bekannt. wenn rechts und links der
> gleiche grenzwert ist, dann ist auch in der mitte der
> gleich grenzwert, mal so grob ausgedrückt.
Genau, und ich habe den zu berechnenden Ausdruck nach oben und nach unten abgeschätzt und dann die Grenzwerte berechnet.
sin und cos nehmen ja nur eine begrenzte Auswahl v. Werten an.
Gruß v Angela
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du hast im Zähler den Ausdruck [mm] $\log^n(x) [/mm] \ = \ [mm] \left[\log(x)\right]^n$ [/mm] , den Du auch mittels 