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Grenzwertbestimmung Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Fr 20.01.2017
Autor: Gobbles

Aufgabe
Gegeben ist für jedes t > 0 die Funktion ft durch ft(x) = 4e^(-4x)-8te^(-2x)+4t²

Ihr Schaubild ist Kt.

a) Geben sie die Asymptote von K0,5 an.
Das Schaubild K0,5, seine Asymptote und die Gerade x = z mit z > 0 begrenzen eine Fläche.

Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche für z = 1.
Für welchen Wert von z hat die FLäche den INhalt 0,5?

Der erste Teil der Aufgabe lief reibungslos die Asymptote zu K0,5 entspricht y = 1
somit ergab sich für z = 1 eine Fläche von 0.748 FE.

Nun soll ich z so wählen das die Fläche 0.5 ergibt. Hier drehe ich mich gerade im Kreis. Folgendes habe ich bis jetzt gemacht.

Gegeben sind ja die Funktionen
K0.5 = f(x)=4e^(-4x)+4e^(-2x)+1
Asymptote g(x) = 1

ich bilde also ein Integral von 0 bis z  [g(x) - f(x)]dx

eingesetzt ergibt das:
Integral von 0 bis z [ 1 - (4e^(-4x)-4e^(-2x)+1)]dx
daraus ergibt sich   [ 1 - 4e^(-4x)+4e^(-2x)-1]dx
                     [- 4e^(-4x)+4e^(-2x)]dx

Stammfunktion bilden:
[e^(-4x)-2e^(-2x)] von 0 bis z

nun ergibt sich aus der Frage ja einen gewuchten Flächeninhalt von 0,5

also folgt:

0,5 = [e^(-4z)-2e^(-2z)] - [e^(-4*0)-2e^(-2*0)]
0,5 = [e^(-4z)-2e^(-2z)] - [1 - 2]
0,5 = [e^(-4z)-2e^(-2z)] - [-1]
0,5 = e^(-4z)-2e^(-2z) + 1 // -1
-0,5 = e^(-4z)-2e^(-2z)    // *-1
0,5 = -e^(-4z)+2e^(-2z)    // * ln
ln(0,5) = 4z +ln(2) - 2z   // -ln(2)
ln(0,5/2) = 2z             // /2
ln(1/4)/2 = z

Jedoch ergibt dieser Wert nicht den Gewünschten Flächeninhalt bei der Probe.

Ich hoffe mal mein Lösungsansatz ist nicht vollkommen falsch. =)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.












        
Bezug
Grenzwertbestimmung Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Fr 20.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

es ist dir ein kapitaler Fehler unterlaufen. Dort, wo du deine Gleichung logarithmierst, machst du etwas von der Form

log(a+b)=log(a)+log(b)

Dies ist nicht zulässig weil falsch. Den Rest habe ich jetzt nicht nachgerechnet, dein Ansatz stimmt aber soweit.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:57 Fr 20.01.2017
Autor: Gobbles

Da hast du natürlich vollkommen recht was mich aber dann zu der Frage bringt ist es denn überhaupt möglich das ohne Newtonverfahren zu bestimmen sprich die Gleichung in irgendeiner Form nach z aufzulösen?


Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:38 Sa 21.01.2017
Autor: Chris84

Huhu,
ich habe jetzt nicht alles nachgerechnet, aber anscheinend sind wir bei

[mm] $0.5=-e^{-4x}+2e^{-2x}$. [/mm]

Nun ist [mm] $e^{-4x}=\left(e^{-2x}\right)^2$, [/mm] also

[mm] $0.5=-\left(e^{-2x}\right)^2+2e^{-2x}$ [/mm]

Substituieren mit [mm] $e^{-2x}$ [/mm] liefert dann eine quadratische Gleichung :)

Gruss,
Chris



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