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Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Mo 15.02.2010
Autor: Rugosh

Aufgabe
Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k} [/mm]

Ich komme bei diese Aufgabe nicht weiter.
Ich habe Sie schon in zwei einzelne Summen zur Berchnung zerteilt und den ersten Teil der Summe danach mit der geom. Reihe errechnen können aber der zweite Teil macht mir jetzt zu schaffen.
[mm] lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k}) [/mm] =
[mm] lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{9^k}-\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{2}{9^k}) [/mm] =
erster Teil über die geom. Reihe errechnet = 2,5(mit Startwert k=1 in der Summe + 1gesammt, da man ja bei der geom. bei k=1 starten muss) =>
[mm] lim(2,5-\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{2}{9^k}) [/mm] =
und hier scheitert es bei mir :-(

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Grenzwertbestimmung: umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Mo 15.02.2010
Autor: Loddar

Hallo Rugosh,

[willkommenmr] !!


> Ich habe Sie schon in zwei einzelne Summen zur Berchnung
> zerteilt und den ersten Teil der Summe danach mit der geom.
> Reihe errechnen können aber der zweite Teil macht mir
> jetzt zu schaffen.

[ok]


> [mm]lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k})[/mm] =  [mm]lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{9^k}-\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{2}{9^k})[/mm]

[ok]


> erster Teil über die geom. Reihe errechnet = 2,5(mit
> Startwert k=1 in der Summe + 1gesammt, da man ja bei der
> geom. bei k=1 starten muss) =>

[notok] Es gilt:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k [/mm] \ = \ [mm] a_0*\summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] \ = \ [mm] a_0*\bruch{1}{1-q} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a_0}{1-q}$$ [/mm]
Setze hier nun ein [mm] $a_0 [/mm] \ = \ 1$ sowie $q \ = \ [mm] \bruch{1}{3}$ [/mm] .


>  und hier scheitert es bei mir :-(

Forme um:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2}{9^k} [/mm] \ = \ [mm] 2*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{9^k} [/mm] \ = \ [mm] 2*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{9}\right)^k$$ [/mm]
Nun also wieder geometrische Reihe.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:39 Mo 15.02.2010
Autor: Rugosh

Vielen Dank für die schnelle Antwort und die Begrüßung im Forum.

> Hallo Rugosh,
>  
> [willkommenmr] !!
>  
>
> > Ich habe Sie schon in zwei einzelne Summen zur Berchnung
> > zerteilt und den ersten Teil der Summe danach mit der geom.
> > Reihe errechnen können aber der zweite Teil macht mir
> > jetzt zu schaffen.
>  
> [ok]
>  
>
> > [mm]lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k})[/mm] =  
> [mm]lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k}{9^k}-\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{2}{9^k})[/mm]
>
> [ok]
>  
>
> > erster Teil über die geom. Reihe errechnet = 2,5(mit
> > Startwert k=1 in der Summe + 1gesammt, da man ja bei der
> > geom. bei k=1 starten muss) =>
>  
> [notok] Es gilt:
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k \ = \ a_0*\summe_{k=0}^{\infty}q^k \ = \ a_0*\bruch{1}{1-q} \ = \ \bruch{a_0}{1-q}[/mm]
>  
> Setze hier nun ein [mm]a_0 \ = \ 1[/mm] sowie [mm]q \ = \ \bruch{1}{3}[/mm]
> .
>  
>
> >  und hier scheitert es bei mir :-(

>  
> Forme um:
>  [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2}{9^k} \ = \ 2*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{9^k} \ = \ 2*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{9}\right)^k[/mm]
>  
> Nun also wieder geometrische Reihe.
>  
>
> Gruß
>  Loddar
>  

Wenn ich mich also nicht schon wieder verrechnet habe ist das Ergebnis von [mm] lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k}) [/mm] = [mm] lim(\bruch{3}{2}-\bruch{9}{8}) [/mm] = [mm] \bruch{12}{8}-\bruch{9}{8}=\bruch{3}{8} [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Mo 15.02.2010
Autor: Rugosh

Ich habe in meinem letzten Post noch einen Fehler gemacht am Schluss es muss
$ [mm] lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k}) [/mm] $ = $ [mm] lim(\bruch{3}{2}-\bruch{9}{4}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{6}{4}-\bruch{9}{4}=-\bruch{3}{4} [/mm] $
heißen, nicht wie ursprünglich von mir geschrieben
FALSCH =>$ [mm] lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k}) [/mm] $ = $ [mm] lim(\bruch{3}{2}-\bruch{9}{8}) [/mm] $ = $ [mm] \bruch{12}{8}-\bruch{9}{8}=\bruch{3}{8} [/mm] $
Bezug
                                
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Mo 15.02.2010
Autor: MathePower

Hallo Rugosh,

> Ich habe in meinem letzten Post noch einen Fehler gemacht
> am Schluss es muss
>  [mm]lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k})[/mm] =
> [mm]lim(\bruch{3}{2}-\bruch{9}{4})[/mm] =
> [mm]\bruch{6}{4}-\bruch{9}{4}=-\bruch{3}{4}[/mm]


Ja, das stimmt. [ok]


>  heißen, nicht wie ursprünglich von mir geschrieben
>  FALSCH =>[mm] lim(\sum_{k=0}^{\infty} \bruch{3^k-2}{9^k})[/mm] =
> [mm]lim(\bruch{3}{2}-\bruch{9}{8})[/mm] =
> [mm]\bruch{12}{8}-\bruch{9}{8}=\bruch{3}{8}[/mm]


Gruss
MathePower
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