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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Mi 25.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | | Bestimmen sie [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{n \cdot \ln{n}} [/mm] |
Hallo liebe "Matheräumer",
es wäre nett, wenn jemand mal gerade über meine Lösung drüberschauen könnte, da ich mir nicht so hundertprozentig sicher bin:
Also:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{n \cdot \ln{n}}
[/mm]
= [mm] \underbrace{\lim_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{n}}_{\rightarrow 1} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}\wurzel[n]{\ln{n}}
[/mm]
= [mm] \lim_{n \rightarrow \infty}\wurzel[n]{\ln{n}}
[/mm]
Es gilt für alle n [mm] \geq [/mm] 3:
1 [mm] \leq \ln{n}, [/mm] da ja [mm] e^1 \in [/mm] (2,3)
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \leq \wurzel[n]{\ln{n}}; [/mm] für alle n [mm] \geq [/mm] 3
Es gilt ausserdem:
[mm] \ln{n} \leq [/mm] n; für alle n [mm] \geq [/mm] 3
[mm] \Rightarrow \wurzel[n]{\ln{n}} \leq \wurzel[n]{n}; [/mm] für alle n [mm] \geq [/mm] 3
Also insgesamt
1 [mm] \leq \wurzel[n]{\ln{n}} \leq \underbrace{\wurzel[n]{n}}_{\rightarrow 1}
[/mm]
Mit dem Einschließungsprinzip folgt dann, dass
[mm] \wurzel[n]{\ln{n}} \rightarrow [/mm] 1
Also gilt:
[mm] \lim_{n \rightarrow \infty} \wurzel[n]{n \cdot \ln{n}} [/mm] = 1
[mm] \Box
[/mm]
Sieht für meinen Geschmack ganz gut aus, aber ist es das auch?
Lieben Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mi 25.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja das ist es !
FRED
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