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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:24 Mi 04.02.2009 | | Autor: | JaJaJan |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{exp(x)}{x^{n}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Benutzen Sie hierfür NICHT die Regel von L´Hospital |
Hallo zusammen,
ich stehe vor der o.g. Aufgabe. Wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Finde leider keine passende Lösung geschweigen denn einen Ansatz:
Kann man das irgendwie mit
exp(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
zeigen?
Wäre sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo JaJaJan,
> Zeigen Sie, dass
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> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{exp(x)}{x^{n}}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
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> Benutzen Sie hierfür NICHT die Regel von L´Hospital
> Hallo zusammen,
>
> ich stehe vor der o.g. Aufgabe. Wäre nett, wenn mir jemand
> dabei helfen könnte.
> Finde leider keine passende Lösung geschweigen denn einen
> Ansatz:
> Kann man das irgendwie mit
>
> exp(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
>
> zeigen?
Sicher kann man das.
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> Wäre sehr dankbar.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 04.02.2009 | | Autor: | JaJaJan |
OK, gut.
Dann werde ich es mal versuchen:
[mm] \bruch{1 + \bruch{x^{2}}{2!} + \bruch{x^{3}}{3!} + ... + \bruch{x^{n}}{n!} + \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!} +...}{x_{1} * ... * x_{n}}
[/mm]
Den ersten Teil des Bruches können wir, egal wie groß oder klein er ist, rausnehmen.
Dann bleibt übrig:
[mm] \bruch{\bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}+....}{1*1*1*....} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n+1}}{(n+1)!}+... [/mm] und das geht gegen [mm] \infty, [/mm] da n gegen [mm] \infty [/mm] geht und die Summe der Brüche ständig weiter ansteigt.
Kann man das so schreiben? Ist bestimmt nicht mathematisch korrekt.
Gruß
Jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mi 04.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] ist [mm] $\exp(x)\ge\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$. [/mm] Damit ist [mm] $\frac{\exp(x)}{x^n}\ge...$
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 04.02.2009 | | Autor: | JaJaJan |
Danke für deine Antwort.
Jedoch weiß ich leider nicht was ich damit anfangen kann. Stehe irgendwie auf dem Schlauch.
Könntest du das präzisieren oder anders erklären?
Danke!
Gruß
Jan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:35 Mi 04.02.2009 | | Autor: | pelzig |
... damit ist [mm] $\frac{\exp(x)}{x^n}\ge\frac{x}{(n+1)!}\rightarrow\infty$ [/mm] für [mm] $x\to\infty$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mi 04.02.2009 | | Autor: | JaJaJan |
Super, danke!!!
Schönen Abend noch.
Gruß
Jan
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