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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 So 18.01.2009 | | Autor: | Herecome |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(tan\bruch{\pi x}{2x+1})^{\bruch{1}{x}}
[/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{2}{\pi}arctan x)^{x}
[/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\{0}}(\bruch{arctan x}{x})^{\bruch{1}{x²}}
[/mm]
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Hallo Mathe-Raum! :)
hab da ein paar Lösungsansätze und würd gern wissen ob ich da richtig liege oder nicht :)
zu a)
ich hab in der klammer das x ausgeklammert so dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(tan\bruch{\pi}{2+\bruch{1}{x}})^{\bruch{1}{x}} [/mm]
dasteht, nur das ich dann das Problem hatte dass der tan von [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] nicht definiert ist. also hab ich den Ansatz von gegebenen GW genommen, der sagt dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[x]{a}=1 [/mm] ist. Lieg ich da richtig?
zu b)
dass der arctan die Umkehrfunktion vom tan ist, weiss ich, nur wie ich mit ihm rechne war mir ein bisschen neu.
aber was ich hab ist: der arctan geht für [mm] x-->\infty [/mm] gegen [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm]
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{\pi}*\bruch{\pi}{2})^{\infty} [/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}1^{\infty} [/mm] = 1
??
und zu c kann ich leider nix sagen, der arctan ist für x=0 0, aber wie ich da weiter machen soll weis ich nicht.
Danke schon mal im Voraus
:)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Herecome und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
dies sind Musteraufgaben für die Regel von de l'Hôpital 
> Bestimmen Sie folgende Grenzwerte:
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> a) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(tan\bruch{\pi x}{2x+1})^{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\bruch{2}{\pi}arctan x)^{x}[/mm]
>
> c) [mm]\limes_{x\rightarrow\{0}}(\bruch{arctan x}{x})^{\bruch{1}{x²}}[/mm]
>
>
> Hallo Mathe-Raum! :)
>
> hab da ein paar Lösungsansätze und würd gern wissen ob ich
> da richtig liege oder nicht :)
>
> zu a)
> ich hab in der klammer das x ausgeklammert so dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(tan\bruch{\pi}{2+\bruch{1}{x}})^{\bruch{1}{x}}[/mm]
> dasteht, nur das ich dann das Problem hatte dass der tan
> von [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] nicht definiert ist. also hab ich den
> Ansatz von gegebenen GW genommen, der sagt dass
> [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow\infty}\wurzel[x]{a}=1$ [/mm] ist. Lieg ich da
> richtig?
Ja, aber das bringt hier wohl nix
Es ist für $a>0$ [mm] $a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Damit kannst du [mm] $\tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right)^{\frac{1}{x}}$ [/mm] umschreiben in [mm] $e^{\frac{1}{x}\cdot{}\ln\left(\tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right)\right)}$
[/mm]
Nun gilt wegen der Stetigkeit der e-Funktion [mm] $\lim\limits_{z\to z_0}e^{f(z)}=e^{\lim\limits_{z\to z_0}f(z)}$
[/mm]
Also greife dir den Exponenten heraus
[mm] $\frac{\ln\left(\tan\left(\frac{\pi x}{2x+1}\right)\right)}{x}$
[/mm]
Das Biest strebt nun bei direktem Grenzügbergang [mm] $x\to\infty$ [/mm] gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Also wende mal die Regel von de l'Hôpital an, leite Zähler und Nenner getrennt ab und mache den erneuten Grenzübergang [mm] $x\to\infty$
[/mm]
Nachher den GW, den du dabei erhältst, aber noch [mm] $e^{GW}$ [/mm] nehmen
>
> zu b)
> dass der arctan die Umkehrfunktion vom tan ist, weiss ich,
> nur wie ich mit ihm rechne war mir ein bisschen neu.
> aber was ich hab ist: der arctan geht für [mm]x-->\infty[/mm] gegen [mm]\bruch{\pi}{2}.[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das behalte im Hinterkopf
> also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{2}{\pi}*\bruch{\pi}{2})^{\infty}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}1^{\infty}[/mm] = 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Genau wie in (a) nimm die Regel von de l'Hôpital her, forme analog zu (a) um, picke dir den Exponenten heraus und schreibe in in der Form [mm] $\frac{a}{b}$
[/mm]
Dann schaue, ob die Voraussetzungen für de l'Hôpital erfüllt sind (sind sie!) und wende die Regel an
> ??
>
> und zu c kann ich leider nix sagen, der arctan ist für x=0
> 0, aber wie ich da weiter machen soll weis ich nicht.
Wieder de l'Hôpital, dieses mal musst du die Regel gar zweimal anwenden, um auf den GW zu kommen ...
>
> Danke schon mal im Voraus
> :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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