Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 05.04.2007 | | Autor: | Sharik |
| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert:
für [mm] \alpha, \beta, [/mm] A, B [mm] \in \IR_+ [/mm] mit A < B
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] (\alpha*A^{n} [/mm] + [mm] \beta*B^{n})^\bruch{1}{n}
[/mm]
|
Hey Leute könnt ihr mir helfen,
ich bin mir nicht sicher wie ich hier vorgehen soll.
Meine Ansatz war folgender:
setze [mm] \alpha*A^{n} [/mm] + [mm] \beta*B^{n} [/mm] = x
und habe dann [mm] x^\bruch{1}{n} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] geht doch [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 0
somit steht da [mm] x^0 [/mm] = 1 also wäre der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 1
Das scheint mir jedoch viel zu einfach.
Also habe ich weiterüberlegt und bin zu solch einem Ansatz gekommen:
setze [mm] \alpha*A^n [/mm] =x und [mm] \beta*B^n [/mm] =y
dann steht da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x+y)^\bruch{1}{n}
[/mm]
nach den Grenzwertsätzen kann ich den limes in die Klammer ziehen und die Konstanten rausziehen, so dass
[mm] (\alpha\limes_{n\rightarrow\infty}A^n [/mm] + [mm] \beta\limes_{n\rightarrow\infty}B^n)^\bruch{1}{n} [/mm] ist
da nun A und B positiv sind und für [mm] n\to \infty [/mm] beide gegen [mm] \infty [/mm] gehen
ist [mm] \wurzel[n]{\infty+\infty} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\infty}
[/mm]
nun weiss ich jedoch nicht weiter.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Do 05.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sharik!
Klammere mal den Term [mm] $B^n$ [/mm] aus:
[mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] \left(\alpha*A^n+\beta*B^n \ \right)^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \left[B^n*\left(\alpha*\bruch{A^n}{B^n}+\beta*1 \ \right)\right]^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] B*\left[\alpha*\left(\bruch{A}{B}\right)^n+\beta \ \right]^{\bruch{1}{n}}$
[/mm]
Nun Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] und beachten, dass gilt: $A \ < \ B$ !
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 05.04.2007 | | Autor: | Sharik |
> [mm]b_n \ = \ \left(\alpha*A^n+\beta*B^n \ \right)^{\bruch{1}{n}} \ = \ \left[B^n*\left(\alpha*\bruch{A^n}{B^n}+\beta*1 \ \right)\right]^{\bruch{1}{n}} \ = \ B*\left[\alpha*\left(\bruch{A}{B}\right)^n+\beta \ \right]^{\bruch{1}{n}}[/mm]
OK darauf wäre ich natürlich garnicht gekommen
also kann ich jetzt hier die Grenzwertsätze anwenden und den limes in die Wurzel ziehen [mm] B*[\alpha*\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{A^n}{B^n})+\beta]^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
da nun der Nenner schneller wächst als der Zähler geht der Bruch gegen 0 und es bleibt über [mm] B*[\beta]^\bruch{1}{n}
[/mm]
Ist das dann der Grenzwert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Do 05.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sharik!
Das kann doch noch gar nicht der entsprechende Grenzwert sein. Schließlich kommt dort noch die Variable $n_$ drin vor.
> also kann ich jetzt hier die Grenzwertsätze anwenden und
> den limes in die Wurzel ziehen
> [mm]B*[\alpha*\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{A^n}{B^n})+\beta]^{\bruch{1}{n}}[/mm]
Das geht so einfach nicht, da Du hier einfach das [mm] $\left( \ ... \ \right)^{\red{\bruch{1}{n}}}$ [/mm] "überspringst".
> da nun der Nenner schneller wächst als der Zähler geht der
> Bruch gegen 0 und es bleibt über [mm]B*[\beta]^\bruch{1}{n}[/mm]
Das kann man so sagen, wenn man sich das getrennt ansieht. Und was ergibt sich nun für [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\beta^{\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{\beta}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Do 05.04.2007 | | Autor: | Sharik |
> Das kann doch noch gar nicht der entsprechende Grenzwert
> sein. Schließlich kommt dort noch die Variable [mm]n_[/mm] drin
> vor.
Oi, das hab ich tatsächlich ignoriert
aber dann könnte ich doch folgendes machen:
[mm]B*[\alpha*\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{A^n}{B^n})+\beta]^\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{n}}[/mm]
dann geht der Bruch unter der Wurzel für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0 und der Exponent ebenfalls,
so dass [mm] B*\beta^0 [/mm] = B der Grenzwert ist
ist das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
es gibt keinen Grenzwertsatz, der dir einfach erlaubt, den lim in den Exponenten zu schreiben!
du musst schon ein anderes argument benutzen um [mm] lim\beta^{1/n}=1 [/mm] zu schreiben! also direkt [mm] |\beta^{1/n}-1|,\varepsilon [/mm] fuer [mm] n>N(\varepsilon)
[/mm]
Das ergebnis ist richtig, der Weg so nicht zulaessig!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Sharik |
> du musst schon ein anderes argument benutzen um
> [mm]lim\beta^{1/n}=1[/mm] zu schreiben! also direkt
> [mm]|\beta^{1/n}-1|,\varepsilon[/mm] fuer [mm]n>N(\varepsilon)[/mm]
> Das ergebnis ist richtig, der Weg so nicht zulaessig!
Hm, mit dieser Definition kann ich leider garnicht umgehen. Ich verstehe wohl was sie Aussagt, habe jedoch absolut keine Ahnung wie ich sie anwenden muss. Kann mir da jemand nochmal helfen?
Z.B. weiss ich nicht, nach welchen Kriterien man das [mm] \varepsilon [/mm] wählt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 So 08.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sharik
Ihr muesst doch irgendwelche Beispiele gemacht haben, in denen man die Def. der Konvergenz benutzt!
Man waehlt [mm] \varepsilon [/mm] nicht nach Kriterien, sondern man muss ja zeigen: zu JEDEM [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N!
hier also :gesucht N sodass [mm] |a^{1/n}-1|<\varepsilon
[/mm]
Fallunterscheidung a>1 und a<1 (a=1 trivial)
a>1: [mm] |a^{1/n}-1|<\varepsilon [/mm] <=> [mm] a^{1/n}-1<\varepsilon
[/mm]
[mm] a^{1/n}<1+varepsilon a<(1+varepsilon)^n n>\bruch{lna}{ln(1+varepsilon)} [/mm] also ist [mm] N=\bruch{lna}{ln(1+varepsilon)}+1 [/mm] eine Moeglichkeit
entspr fuer a<1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Sa 07.04.2007 | | Autor: | Mathemator |
Hallo leduart,
folgt deiner Meinung nach nicht aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion auf ganz R, dass bei einer Folge [mm] (a_n) [/mm] mit Grenzwert a auch gilt, dass die Folge [mm] (b^a_n) [/mm] den Grenzwert [mm] b^a [/mm] hat ?
Frdl. Gruß
Mathemator
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 So 08.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man Folgen behandelt ist man meist weit von der Stetigkeit der exp. fkt auf [mm] \IR [/mm] entfernt!
was man hier braucht ist ja nur die Stetigkeit bei 0
Wenn man die allerdings zitieren darf, denk ich es ist ok.
Obwohl da wohl auch noch ne Argumentationsreihe dazwischen gehoert, die auf N, [mm] \varepsilon [/mm] rauslaeuft! oder wie wuerdest du das praezisieren?
Gruss leduart
|
|
|
|
