Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Do 16.11.2006 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=1
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{j,k=2}^{n}\bruch{1}{j^{k}}=1 [/mm] |
Hi,
ich weiss nicht wie lange ich schon an diesen Aufgaben sitze. Nicht nur an diesen, ich habe noch zwei die ich dann auch noch reinstelle, weil ich langsam mit meinem Latein und mit meiner mathematischen Phantasie am Ende bin. Ich weiss das die erstere von beiden eine Umformung benötigt. Ich weiss, dass ich den Bruch auch so darstellen kann. Das Summenzeichen davor lasse ich weg.
[mm] (1-\bruch{1}{2})+((\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3})+...+(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1})
[/mm]
Ich komme aber trotzdem nicht weiter, denn wenn ich mir beide Teile des Bruches anschaue, kann ich diesen ja zerlegen in zwei einzelne Reihen, da es sich hier ja eigentlich um eine Produktreihe handelt.
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k(k+1)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}*\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k+1}
[/mm]
Die erste Reihe konvergiert aber nicht sondern divergiert und auch die zweite Reihe konvergiert nicht, denn wenn die erste dieser Form nicht konvergiert, dann konvergiert doch auch die zweite dieser Form nicht!?
Also wie soll ich zeigen, dass diese beiden Reihen zusammengefasst zu einer konvergieren. Ich weiss einfach nicht mehr weiter.
Bei der zweiten Aufgabe habe ich überhaupt keine Ahnung, habe auch schon probiert es mit Hilfe der geomietrischen Reihe zu machen, also [mm] (\bruch{1}{j})^{k} [/mm] zu betrachten und dann das konvergenzkriterium der Geomietrischen Reihe anzuwenden, aber da sich ja j ändert also mitläuft mit dem Index und kein fester Wert ist, kann ich den Grenzwert nur in Abhängigkeit von j ausrechnen, ich soll aber zeigen das er wirklich 1 ist. Ich habe auch probiert es über eine Abschätzung zu machen, aber vergeblich.
Es wäre echt nett, wenn mir jemand mal sagen könnte, wie das zu funktionieren hat. Ich bin sicher, mir fehlt nur wieder ein gewisser Gedankengang, so das ich einfach nicht draufkomme!
Die andere Aufgabe stelle ich später noch rein, da geht es um eine Betragsungleichung.
Gruß,
clwoe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Do 16.11.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo,
also gleich vorab, reihen und sowas ist schon wieder ewig lange her bei mir und ich weiss nicht, ob das hier richtig sein koennte. aber vielleicht hilft es dir ja trotzdem weiter.
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] ist eine endliche Summe.
In meiner Formelsammlung steht [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)}=\bruch{n}{n+1}
[/mm]
wenn ich die aufgabe richtig verstehe, sollst du nun zeigen, dass der grenzwert dieser summe fuer [mm] n\to\infty [/mm] gleich 1 ist.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{n}{n}}{\bruch{n}{n}+\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}=1
[/mm]
beim 2. teil wuerd ich genauso rangehen, denke da ist die idee mit der geometrischen reihe auch richtig.
[mm] \summe_{j,k=2}^{n}\bruch{1}{j^{k}}=\summe_{j,k=2}^{n}(\bruch{1}{j})^{k}=\bruch{1}{1-\bruch{1}{j}}
[/mm]
die bedingungen fuer die geometrische reihe sind erfuellt, da [mm] \bruch{1}{j} [/mm] immer kleiner 1 ist. also denke ich dass du nun nur noch den [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{1}{1-\bruch{1}{j}} [/mm] abschaetzen musst.
und wenn meine abschatzung vom ersten teil richtig ist, kannst dus hier genauso machen. also
[mm] \limes_{j\rightarrow\infty}\bruch{1}{1-\bruch{1}{j}}=1
[/mm]
oki, also wie gesagt, nur ne idee, keine garantie.
hoffe aber es hat dir trotzdem geholfen.
LG Jany :)
PS: was mir grad noch auffaellt. normalerweise geht die geometrische reihe ja
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}x^{n} [/mm] bei dir sieht sie aber so aus [mm] \summe_{j,k=2}^{n}x^{k}. [/mm] ich weiss nicht ob das mit den unterschiedlichen grenzen irgendwie auswirkungen auf meinen ansatz hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Do 16.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
erst mal danke für die schnelle Antwort. Die Aufgabe 1 muss ich noch probieren. Die zweite jedoch kann nicht stimmen. Die erste Summe läuft zwar gegen den Grenzwert der geometrischen Reihe, jedoch habe ich dann immer noch eine Reihe über diesem Grenzwert, und die läuft definitiv nicht gegen 1. Also kann das Ergebnis nicht stimmen.
[mm] \summe_{j,k=2}^{\infty}\bruch{1}{j^{k}}=\summe_{j=2}^{\infty}(\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{j})^{k})=
[/mm]
[mm] \summe_{j=2}^{\infty}(\bruch{1}{1-\bruch{1}{j}})=\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{j}{j-1}
[/mm]
Diese Summe müsste ich wahrscheinlich wieder umschreiben, jedoch geht diese Reihe nicht gegen 1. Also irgendetwas stimmt da nicht!!
Vielleicht kann mir ja nochmal jemand helfen und sagen wie es geht!
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:50 Fr 17.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
kann mir denn bei dieser Aufgabe niemand helfen?
Ich habe schon alles ausprobiert aber ich komme einfach nicht auf den gesuchten Grenzwert!
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Fr 17.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Dominic!
In der obigen Antwort war ein kleiner, aber verhängnisvoller Fehler!
"beim 2. teil wuerd ich genauso rangehen, denke da ist die idee mit der geometrischen reihe auch richtig.
[mm] \summe_{j,k=2}^{n}\bruch{1}{j^{k}}=\summe_{j,k=2}^{n}(\bruch{1}{j})^{k}=\bruch{1}{1-\bruch{1}{j}} [/mm] "
Das Anfangsglied dieser geom. Reihe ist ja nicht 1, sondern [mm] \bruch{1}{j^{2}}
[/mm]
deswegen muß es heißen
[mm] \summe_{j,k=2}^{n}\bruch{1}{j^{k}}=\summe_{j,k=2}^{n}(\bruch{1}{j})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{j=2}^{n}\summe_{k=2}^{n}(\bruch{1}{j})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{j^{2}}\*\bruch{1}{1-\bruch{1}{j}} [/mm] = [mm] \summe_{j=2}^{n}\bruch{1}{j(j-1)}
[/mm]
und dann ergibt sich die Lösung aus Aufgabenteil a).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:24 Fr 17.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Guten Morgen,
danke für die schnelle Antwort, aber das kann ich nicht nachvollziehen. Wie kommst du darauf, das ich für das k die 2 einsetzen muss??? Könntest du mir bitte zeigen, wie ich hier komplett vorzugehen habe, ich habe versucht es gerade nachzuvollziehen, aber ich komm nicht drauf, ich beiß mir noch die Zähne aus an dieser Aufgabe. Ich habe auch schon probiert die Reihe umzuschreiben mit Fakultät und weiß der Teufel was alles, aber keine Chance. Im Internet finde ich auch nichts zu dieser Reihe! Hier ist meine letzte Chance.
Also vielleicht könntest du mir einfach zeigen wie man vorzugehen hat dann werde ich es schon schaffen.
Gruß,
clwoe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Fr 17.11.2006 | | Autor: | statler |
Hey,
Antwort s. o.
Gruß
|
|
|
|
