Grenzwertbestimmung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\wurzel{ n^{2}+5n+1}-\wurzel{n^{2}+2}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bisher hab ich folgendes gemacht:
[mm] \bruch{(\wurzel{ n^{2}+5n+1}-\wurzel{n^{2}+2}) * (\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})}{(\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}+5n+1-n^{2}-2}{(\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})} [/mm] = [mm] \bruch{5n-1}{(\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})}
[/mm]
Jetzt ist meine Überlegung folgendermaßen:
5n-1 [mm] \to \infty [/mm] so wie [mm] (\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2}) \to \infty [/mm] .
Da 5n-1 > [mm] (\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2}) [/mm] folgt [mm] (\wurzel{ n^{2}+5n+1}-\wurzel{n^{2}+2}) \to \infty
[/mm]
Ist die Überlegung korrekt oder kann man nach meinem letzten Schritt noch weiter rechnen?
|
|
| |
|
Hallo Jan,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\bruch{(\wurzel{ n^{2}+5n+1}-\wurzel{n^{2}+2}) * (\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})}{(\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})}[/mm]
> = [mm]\bruch{n^{2}+5n+1-n^{2}-2}{(\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})}[/mm]
> = [mm]\bruch{5n-1}{(\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})}[/mm]
>
> Jetzt ist meine Überlegung folgendermaßen:
> 5n-1 [mm]\to \infty[/mm] so wie [mm](\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2}) \to \infty[/mm]
> .
>
> Da 5n-1 > [mm](\wurzel{ n^{2}+5n+1}+\wurzel{n^{2}+2})[/mm] folgt
> [mm](\wurzel{ n^{2}+5n+1}-\wurzel{n^{2}+2}) \to \infty[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Als Bsp. das das nicht geht nehm ich mal [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2n+1}{n}
[/mm]
Nach Deiner Argumentation ist der Grenzwert unendlich.
Du kannst jetzt soviel wie nötig n's ausklammern.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n}*\bruch{2+\bruch{1}{n}}{1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2+\bruch{1}{n}}{1}
[/mm]
Jetzt geht [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen Null d.h der Grenzwert ist 2.
Jetzt klar wie's weitergehen kann.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
