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Hallo,
ich soll den Grenzwert zu folgender Aufgabe berechnen, aber ich komm nicht weiter. Ich bitte deshalb um Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2^{-2n} \vektor{2n\\ n} \wurzel{n} [/mm]
Ich hab so angefangen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2^{-2n} \vektor{2n\\ n} \wurzel{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ \wurzel{n}}{2^{2n}} \bruch{(2n)!}{n!n!} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{ \wurzel{n}}{2^{2n}} \bruch{2*(2n-1)......(n-1)}{(n-1)!}
[/mm]
wie kann ich jetzt weiter machen? Ich glaub beim Bruch kürzt sich noch was raus, aber dann weiß ich nicht, was dann noch im Zähler übrig bleibt und wie ich den Grenzwert herausbekomm.
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Viele Grüße, Milka
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Verwende das Wallis-Produkt
[mm]p_n \ = \ \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdot \frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7} \cdots \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} \to \frac{\pi}{2}[/mm] für [mm]n \to \infty[/mm]
Zeige durch geschicktes Erweitern:
[mm]p_n \ = \ \frac{2^{4n}}{{{2n} \choose n}^2 \cdot (2n+1)}[/mm]
Damit gilt:
[mm]2^{-2n} {{2n} \choose n} \sqrt{n} \ = \ \frac{1}{\sqrt{p_n}} \cdot \sqrt{\frac{n}{2n+1}}[/mm]
Und jetzt kannst du den Grenzwert nach bekannten Grenzwertregeln ermitteln.
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