Grenzwertberechnung mit e^x < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 So 27.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll den Ausdruck [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n=e^x [/mm] für die Berechnung der Grenzwerte von:
[mm] (1+\bruch{2}{3n})^{3n-2} [/mm] und [mm] (1-\bruch{1}{n^2})^{(n-1)^2} [/mm] verwenden.
Beim ersten kann ich das doch aufteilen auf [mm] (1+\bruch{2}{3n})^{3n} *(1+\bruch{2}{3n})^{-2} [/mm]
Aber wie berechne ich das jetzt,weil im Nenner steht ja statt n 3n und im Zähler statt x 2
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Hallo racy90,
> Hallo,
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> Ich soll den Ausdruck
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n=e^x[/mm] für die
> Berechnung der Grenzwerte von:
>
> [mm](1+\bruch{2}{3n})^{3n-2}[/mm] und
> [mm](1-\bruch{1}{n^2})^{(n-1)^2}[/mm] verwenden.
>
> Beim ersten kann ich das doch aufteilen auf
> [mm](1+\bruch{2}{3n})^{3n} *(1+\bruch{2}{3n})^{-2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie berechne ich das jetzt,weil im Nenner steht ja
> statt n 3n und im Zähler statt x 2
Nun, wenn [mm]n\to\infty[/mm] geht, so [mm]3n[/mm] auch.
Substituiere also [mm]3n=:m[/mm], dann hast du [mm]\lim\limits_{m\to\infty}\left(1+\frac{2}{m}\right)^m\cdot{}\text{Rest}[/mm]
Und diesen GW kennst du doch (mit $x=2$)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 27.03.2011 | | Autor: | racy90 |
okay
und wie teile ich es beim zweiten bsp auf?
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Hallo,
> okay
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> und wie teile ich es beim zweiten bsp auf?
Na, so viele Möglichkeiten hast du doch nicht.
Wende im Exponenten die bin. Formel an und teile dann wie in a) auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 27.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Vielleicht so
[mm] (1-\bruch{1}{n^2})^{(n-1)^2}*(1-\bruch{1}{n^2})^1 [/mm] ??
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Hallo nochmal,
> Vielleicht so
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> [mm](1-\bruch{1}{n^2})^{(n-1)^2}*(1-\bruch{1}{n^2})^1[/mm] ??
Nein, du sollst die binom. Formel im Exponenten anwenden!
[mm]\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{(n-1)^2}=\left(1+\frac{(-1)}{n^2}\right)^{n^2-2n+1}=\ldots[/mm]
Nun aufteilen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 27.03.2011 | | Autor: | racy90 |
okay
also hab ich stehen [mm] (1-\bruch{1}{n^2})^{n^2-2n}*(1-\bruch{1}{n^2})^1
[/mm]
der hintere Teil ist doch 1 wenn n gegen unendlich geht aber der vordere macht mir schwierigkeiten
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Hallo nochmal,
> okay
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> also hab ich stehen
> [mm](1-\bruch{1}{n^2})^{n^2-2n}*(1-\bruch{1}{n^2})^1[/mm]
Du brauchst doch für die Formel, dass da im Nenner dasselbe wie im Exponenten steht.
Ich plädiere für [mm]\left(1+\frac{(-1)}{n^2}\right)^{n^2}\cdot{}\left(1+\frac{(-1)}{n^2}\right)^{-2n+1}[/mm]
bzw. [mm]\left(1+\frac{(-1)}{n^2}\right)^{n^2}\cdot{}\left(1+\frac{(-1)}{n^2}\right)^{-2n}\cdot{}\left(1+\frac{(-1)}{n^2}\right)^{1}[/mm]
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> der hintere Teil ist doch 1 wenn n gegen unendlich geht
> aber der vordere macht mir schwierigkeiten
Nun aber nicht mehr ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 So 27.03.2011 | | Autor: | racy90 |
Aso okay danke
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