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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mi 18.05.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Berechnen sie den Grenzwert von:
[mm] $\lim_{x \to 1} \frac{x^x-x}{1-x+ln(x)}$ [/mm] |
Hi Leute!
Wie gehe ich an die obige Aufgabe ran? Ich mein, ich kann ja überall 1 einsetzen was zu 1 im Zähler wie im Nenner führt und dann alles gegen 1 geht. Das erscheint mir aber irgendwie zu einfach...
Könnt ihr mir helfen?
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Hallo bandchef,
> Berechnen sie den Grenzwert von:
>
> [mm]\lim_{x \to 1} \frac{x^x-x}{1-x+ln(x)}[/mm]
> Hi Leute!
>
> Wie gehe ich an die obige Aufgabe ran? Ich mein, ich kann
> ja überall 1 einsetzen was zu 1 im Zähler wie im Nenner
> führt und dann alles gegen 1 geht.
Das stimmt nicht!
Bedenke, dass [mm] $x^x=e^{x\cdot{}\ln(x)}$ [/mm] ist.
Bei direktem Grenzübergang erhält man den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Wie wär's mit de l'Hôpital?
> Das erscheint mir aber
> irgendwie zu einfach...
>
> Könnt ihr mir helfen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 18.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, hätt ich selber drauf kommen können.
Aber: Wie kommst du im Zähler auf 0? Der Nenner is ja klar...
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Hallo nochmal,
> Hm, hätt ich selber drauf kommen können.
>
> Aber: Wie kommst du im Zähler auf 0? Der Nenner is ja
> klar...
Zähler: [mm]x^x-x=e^{x\cdot{}\ln(x)}-x\longrightarrow e^{1\cdot{}\ln(1)}-1=e^{1\cdot{}0}-1=e^0-1=1-1=0[/mm] für [mm]x\to 1[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 18.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Die Nenner-Ableitung ist ja kein Problem, aber bei der Zähler-Ableitung stock ich grad... Insbesondere bei [mm] $e^{x\cdot ln(x)}$
[/mm]
Ich hab das hier raus:
$... = [mm] \frac{x+e^{x\cdot ln(x)}}{-1+\frac{1}{x}}$
[/mm]
Stimmt das?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:53 Mi 18.05.2011 | | Autor: | bandchef |
$ ... = [mm] \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)\cdot e^{x\cdot ln(x)}-1}{-1+\frac{1}{x}} [/mm] $
Jetzt stimmts aber
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Jetzt stimmts aber
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nö! Bitte schrittweise vorrechnen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Mi 18.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Jetzt aber:
$ ... = [mm] \lim_{x \to 1} \frac{(ln(x)-1)\cdot e^{x\cdot ln(x)}-1}{-1+\frac{1}{x}} [/mm] $
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Hallo nochmal,
> Jetzt aber:
>
> [mm]... = \lim_{x \to 1} \frac{(ln(x)\red{-}1)\cdot e^{x\cdot ln(x)}-1}{-1+\frac{1}{x}}[/mm]
Fast! Woher kommt das [mm] $\red{-}$ [/mm] ?
Da muss ein "+" hin!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mi 18.05.2011 | | Autor: | bandchef |
Ok, du hast Recht:
$ ... = [mm] \lim_{x \to 1} \frac{(ln(x)+1)\cdot e^{x\cdot ln(x)}-1}{-1+\frac{1}{x}}$
[/mm]
Wenn ich den LImes jetzt ausführe, kommt immer noch [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] raus. D.h. ich muss nochmal l'Hospitla anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Wenn ich den LImes jetzt ausführe, kommt immer noch [mm]\frac{0}{0}[/mm] raus.
> D.h. ich muss nochmal l'Hospitla anwenden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Wenn Du magst, kannst Du den Bruch zuvor mit $x_$ erweitern.
Gruß
Loddar
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