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Hallo,
ich versuche hier einen Grenzwert mit Hilfe von Testfolgen zu finden, dabei war ich mir bei der Bruchgleichung unsicher und wollte Euch fragen, ob Ihr mir sagen könnt, ob ich Folgendes richtig errechnet habe:
f(x) = [mm] \bruch{x+3}{4x-5}
[/mm]
Df = [mm] \IR [/mm] \ [mm] {\bruch{5}{4}}
[/mm]
Funktionswerte:
f(xn) = [mm] f(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n}+3}{4(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})-5} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{17}{4}+\bruch{1}{n}}{\bruch{4}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{17n+4}{4n}}{\bruch{4}{n}} [/mm] = [mm] \bruch{17n+4}{4n} \* \bruch{n}{4}
[/mm]
Ergebnis:
[mm] =\bruch{17n²+4n}{16n} [/mm]
PS: bin leider nicht so bewandert i. S. Bruchrechnen ^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Di 09.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathemuffel!
Ich nehme mal an, Du willst hier den (rechtsseitigen) Grenzwert an der Polstelle [mm] $x_p [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{4}$ [/mm] ermitteln, oder?
> f(xn) = [mm]f(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n}+3}{4(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})-5}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{17}{4}+\bruch{1}{n}}{\bruch{4}{n}}[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{17n+4}{4n}}{\bruch{4}{n}}[/mm] = [mm]\bruch{17n+4}{4n} \* \bruch{n}{4}[/mm]
Und hier hättest Du bereits durch $n_$ kürzen können zu:
[mm] $f(x_n) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{16}*(17n+4) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{17}{16}*n+\bruch{1}{4}$
[/mm]
Edit: Billig-Rechenfehler ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") korrigiert. Loddar
Und nun die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen.
Was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
ja es war der rechtsseitige Grenzwert.
Ich weiß jetzt zwar nicht so recht, wie du auf
$ [mm] f(x_n) [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}(17n+4) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{17}{4}\cdot{}n+1 [/mm] $
gekommen bist.
aber ich müsste dasselbe Ergebnis ohne die Multiplikation von [mm] \bruch{1}{4} [/mm] raus bekommen haben und zwar:
f(xn) = [mm] \bruch{21n}{4}
[/mm]
(Ich hab dein Ergebnis noch mal zusammengefasst)
demnach ergäbe es den Grenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{21n}{4} [/mm] = + [mm] \infty
[/mm]
Da es ja ne Nullfolge ist.
Habe ich das richtig erkannt?
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Hallo mathemuffel,
>
> ich versuche hier einen Grenzwert mit Hilfe von Testfolgen
> zu finden, dabei war ich mir bei der Bruchgleichung
> unsicher und wollte Euch fragen, ob Ihr mir sagen könnt, ob
> ich Folgendes richtig errechnet habe:
>
> f(x) = [mm]\bruch{x+3}{4x-5}[/mm]
>
> Df = [mm]\IR[/mm] \ [mm]{\bruch{5}{4}}[/mm]
>
> Funktionswerte:
>
> f(xn) = [mm]f(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n}+3}{4(\bruch{5}{4}+\bruch{1}{n})-5}[/mm]
> = [mm]\bruch{\bruch{17}{4}+\bruch{1}{n}}{\bruch{4}{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\bruch{17n+4}{4n}}{\bruch{4}{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{17n+4}{4n} \* \bruch{n}{4}[/mm]
>
>
> Ergebnis:
>
> [mm]=\bruch{17n²+4n}{16n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
jetzt solltest du nur noch durch n kürzen - meinte Loddar und hat sich verrechnet 
[mm]=\bruch{17n+4}{16} = \bruch{17}{16}n + \bruch{1}{4}[/mm]
für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] gibt das aber keinen Grenzwert, sondern geht gegen [mm] \infty.
[/mm]
>
>
> PS: bin leider nicht so bewandert i. S. Bruchrechnen ^^
geht doch - mehr Mut!
Gruß informix
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hey cool :)
Das freut mich, vielen Dank!
Schönen Abend noch.
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uups, ich hätte doch noch eine Frage.
+ [mm] \bruch{1}{4} [/mm] oder + [mm] \bruch{4}{1} [/mm] ?
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och nee, sorry, ich muss ja 4/16 und nicht 4/1 schreiben und das kürze ich dann auf 1/4.
Pardon, es ist schon spät. Keine weiteren Fragen :)
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