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Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 So 16.04.2006
Autor: Karl123

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo!
Könnt ihr mir sagen, ob folgende Aufgabe richtig gelöst ist?

- Berechnen Sie den Grenzwert folgender Reihe:
∑(von k=1 bis ∞) = 1/(k*(k-1))

Der Grenzwert berechnet sich doch nach der Formel 1/(1-q), wobei q hier gleich 1/2 ist, oder?

Meine Lösung:
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} [/mm] = 1/(k*(k-1)) = 0 + 1/2 + 1/6 + 1/12 + ...

= 1/(1-(1/2)) = 2

Jetzt kommt aber für k=1 ein nicht definierter Betrag (1/0) raus. Was mache ich da?
Vielen Dank.

        
Bezug
Grenzwertberechnung: Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:40 So 16.04.2006
Autor: leduart

Hallo Karl

> Hallo!
>  Könnt ihr mir sagen, ob folgende Aufgabe richtig gelöst
> ist?

Falsch gelöst!  

> - Berechnen Sie den Grenzwert folgender Reihe:
>  ∑(von k=1 bis ∞) = 1/(k*(k-1))
>  
> Der Grenzwert berechnet sich doch nach der Formel 1/(1-q),
> wobei q hier gleich 1/2 ist, oder?

Nein, das ist der GW von  [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}q^k[/mm]

> Meine Lösung:
>   [mm]\summe_{k=1}^{ \infty}[/mm] = 1/(k*(k-1)) = 0 + 1/2 + 1/6 +
> 1/12 + ...

keine zweirpotenzen!

> = 1/(1-(1/2)) = 2
>  
> Jetzt kommt aber für k=1 ein nicht definierter Betrag (1/0)
> raus. Was mache ich da?

Wenn die Summe wirklich von 1 anfängt, und im Nenner nicht k*(k+1)steht ist sie nicht definiert. Sieh die Aufgabenstellung noch mal nach! sonst ist die Lösg einfach: nicht definiert!
Gruss und schöne Ostern leduart

Bezug
        
Bezug
Grenzwertberechnung: Teleskopsumme
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 So 16.04.2006
Autor: Loddar

Hallo Karl!


Von leduarts Einwand bezüglich Startwert und/oder dem Vorzeichen in der Summe mal abgesehen, lässt sich dies Reihe sonst in eine sogenannte Teleskopreihe zerlegen:

[mm] $\bruch{1}{k*(k-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k-1}-\bruch{1}{k}$ [/mm]     bzw.     [mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}$ [/mm]


Damit eliminieren sich nämlich die meisten Reihenglieder und der entsprechende Grenzwert lässt sich schnell bestimmen.


Gruß
Loddar


Bezug
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