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Hallo zusammen,
von unserem Dozenten haben wir 2 Aufgaben bekommen, wobei wir die Grenzwerte jeweils mit Hilfe von elementaren Umformungen berechnen sollen. Leider ist unser Dozent etwas sehr unpräzise, was für ihn elementare Umformungen sind. Daher stelle ich die Aufgaben mit meinen jeweiligen Lösungsansätzen einmal hier rein und hoffe, mir kann vielleicht jemand einen noch einfacheren Weg zeigen.
Aufgabe 1)
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 4} \bruch{x - 4}{x² - x - 12}[/mm]
Da dies ein Ausdruck [mm] \bruch{0}{0}[/mm] ist, habe ich gesagt, dass man l'hospital anwenden kann. D.h. ich habe die Ableitung gebildet und erhalte dann: [mm] \limes_{n\rightarrow\4} \bruch{1}{2x - 1}[/mm] und das ergibt dann einen Grenzwert von: [mm] \bruch{1}{7}[/mm]
Aufgabe 2)
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 2} \bruch{4 - x²}{3 - \wurzel{x² + 5}}[/mm]
Auch hier habe ich keine Umformung gefunden, ausser die Möglichkeit l'hospital anzuwenden. Dadurch erhalte ich dann [mm] \bruch{2x}{ \bruch{2x}{\wurzel{x² + 5}}}[/mm] und erhalte dadurch einen Grenzwert von 3.
Meiner Ansicht nach, will mein Dozent aber sicherlich nicht l'hospital sehen. Hat also vielleicht irgendjemand noch eine andere Idee???
Gruss
Julinchen
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Hallo Julinchen,
> Aufgabe 1)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 4} \bruch{x - 4}{x² - x - 12}[/mm]
Zerlege hier den Nenner in seine Nullstellen.
> Da
> dies ein Ausdruck [mm]\bruch{0}{0}[/mm] ist, habe ich gesagt, dass
> man l'hospital anwenden kann. D.h. ich habe die Ableitung
> gebildet und erhalte dann: [mm]\limes_{n\rightarrow\4} \bruch{1}{2x - 1}[/mm]
> und das ergibt dann einen Grenzwert von: [mm]\bruch{1}{7}[/mm]
>
> Aufgabe 2)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ 2} \bruch{4 - x²}{3 - \wurzel{x² + 5}}[/mm]
Multipliziere hier Zähler und Nenner mit [mm]3 + \wurzel{x² + 5}[/mm]
>
> Auch hier habe ich keine Umformung gefunden, ausser die
> Möglichkeit l'hospital anzuwenden. Dadurch erhalte ich dann
> [mm]\bruch{2x}{ \bruch{2x}{\wurzel{x² + 5}}}[/mm] und erhalte
> dadurch einen Grenzwert von 3.
>
> Meiner Ansicht nach, will mein Dozent aber sicherlich nicht
> l'hospital sehen. Hat also vielleicht irgendjemand noch
> eine andere Idee???
Gruß
MathePower
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Hallo,
tja, also bei Aufgabe 1) hilft mir das bis jetzt noch nicht, denn falls ich das richtig verstanden habe, soll ich die Nullstellen des Nenners bestimmten. Das sind -3 und 4. Damit komme ich dann irgendwie nicht weiter.
Bei Aufgabe 2) schon. Durch das Erweitern mit [mm]3 + \wurzel{x² + 5} [/mm] erhalte ich [mm] \bruch{(4 - x²) \* (3 + \wurzel{x² + 5})}{14 - x²}[/mm] Das ergibt dann [mm] \bruch{0}{10}[/mm] und das ist dann ein Grenzwert von 0, oder liege ich da falsch??
Gruss
Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mi 30.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Julia!
> tja, also bei Aufgabe 1) hilft mir das bis jetzt noch
> nicht, denn falls ich das richtig verstanden habe, soll ich
> die Nullstellen des Nenners bestimmten. Das sind -3 und 4.
> Damit komme ich dann irgendwie nicht weiter.
Mit den bekannten Nullstellen kannst Du den Nenner jetzt in faktorisierter Schreibweise formulieren:
[mm] $\bruch{x-4}{x^2-x-12} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{(x-4)}}{(x+3)*\blue{(x-4)}} [/mm] \ = \ ...$
> Bei Aufgabe 2) schon. Durch das Erweitern mit [mm]3 + \wurzel{x² + 5}[/mm]
> erhalte ich [mm]\bruch{(4 - x²) \* (3 + \wurzel{x² + 5})}{14 - x²}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast einen Rechenfehler im Nenner gemacht:
[mm] $\bruch{\left(4-x^2\right)*\left(3+\wurzel{x^2+5} \ \right)}{\red{9-\left(x^2+5\right)}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left(4-x^2\right)*\left(3+\wurzel{x^2+5} \ \right)}{9-x^2 \ \red{-} \ 5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{\left(4-x^2\right)}*\left(3+\wurzel{x^2+5} \ \right)}{\blue{\left(4-x^2\right)}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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