Grenzwertaufgabe < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 15.03.2007 | | Autor: | LaBella |
Ich weiß ich werd hier langsam zum stammgast aber hab schon wieda ein kleines problemchen *fg*
alsoooo habe folgende extremwert aufgabe:
Ein Haus H liegt 100m abseits einer geradelinigen straße,die von einem Fernheizwerk A wegführt. Es soll an das Fernheizsystem angeschlossen werden. Die verlegung kostet längs der Straße 150 im Gelände 200 pro meter. Der hausnächste PunktDer hausnächste Punkt B der STraße liegt 1500m von A entfernt. An welcher Stelle C der Straße muss die Abzweigung erfolgen, damit die kosten minimal werden?
hab jetzt mal als hauptbedingung folgendes rausgefunden:
HB: [mm] (1500*150)-150x+\wurzel{x²+100²}*200
[/mm]
das ganze dann auch abgeleitet: [mm] K´(x)=-150+0,5*\wurzel{x²+100²}^-0,5*2x*200. [/mm]
Jetzt bräucht ich eigentlich nur mehr x berechnen aber ich weiß nicht wie....bisher haben sich bei solchen sachen immer irgendwelche sachen weggekürzt...aber hier?
wie soll ich da vorgehen?
LG bella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 15.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Ich nehme mal an, dass diese Funktion stimmt:
$K(x)= [mm] (1500*150)-150x+\wurzel{x²+100²}*200$
[/mm]
$K(x)= [mm] (1500*150)-150x+200*(x²+100²)^{\bruch{1}{2}}$
[/mm]
Wenn ich das dann ableite, erhalte ich:
$K'(x)= [mm] -150+200*\bruch{1}{2}(x²+100²)^{-\bruch{1}{2}}*2x$
[/mm]
$K'(x)= [mm] -150+100*\bruch{1}{\wurzel{x²+100²}}*2x$
[/mm]
$K'(x)= [mm] \bruch{200x}{\wurzel{x²+100²}} [/mm] -150$
Nullstellen suchen:
$0= [mm] \bruch{200x}{\wurzel{x²+100²}} [/mm] -150$
$150= [mm] \bruch{200x}{\wurzel{x²+100²}}$
[/mm]
$3= [mm] \bruch{4x}{\wurzel{x²+100²}}$
[/mm]
[mm] $3\wurzel{x²+100²}= [/mm] 4x$
[mm] $\wurzel{x²+100²}= \bruch{4}{3}x$
[/mm]
...
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