Grenzwert zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass gilt:
log n! = n*log n - n + o(n) |
Hallo zusammen,
die Lösung zur Aufgabe ist die folgende, aber ich verstehe sie nicht.
Lösung
Nach der schwachen Version der Stirling-Formel gilt [mm] \wurzel[n]{n!} [/mm] = [mm] \bruch{n}{e} [/mm] + o(n).
Daraus folgert man leicht, dass n! = [mm] \bruch{n^n}{e^n} [/mm] + [mm] o(n)^n.
[/mm]
Wieso ist n! = [mm] \bruch{n^n}{e^n} [/mm] + [mm] o(n)^n [/mm] ?
Erstmal ist doch n! = [mm] (\bruch{n}{e} [/mm] + [mm] o(n))^n. [/mm] Hierauf könnte ich dann den binomischen Lehrsatz anwenden, aber damit komme ich nicht auf die Formel.
Folglich gilt für die Logarithmen log(n!) = log [mm] \bruch{n^n}{e^n} [/mm] + [mm] log(o(n)^n)
[/mm]
Wie folgere ich das aus der vorherigen Gleichung?
Da log(x) = [mm] o(\wurzel[n]{x}) [/mm] für x [mm] \to +\infty [/mm] gilt, also ist [mm] log(o(n)^n) [/mm] = o(o(n)) = o(n)
Woher weiß ich, dass [mm] o(n)^n [/mm] gegen [mm] +\infty [/mm] geht für n [mm] \to \infty?
[/mm]
und daher folgt log(n!) = [mm] log(n^n) [/mm] - [mm] log(e^n) [/mm] + o(n) = n*log(n) - n + o(n) aus den grundlegenden Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
Gruss
Alexander
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 06.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
