Grenzwert von log bestimmen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Fr 17.12.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo liebe Matheraum-Mitglieder....
zwar sind heute die Winterferien angefangen, trotzdem stehe vor einer Aufgabe und komme einfach nicht die richtige Idee.
Zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel[n]{x}-1)=log(x)
[/mm]
Leider haben wir in der Vorlesung noch nicht die Regel von l'Hospital besprochen, also fällt die flach.
Meine bisherigen Umformungen haben nicht zum Ziel geführt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel[n]{x}-1)=\limes_{n\rightarrow\infty} n*e^{log(\wurzel[n]{x}-1)}
[/mm]
Mit welcher Idee könnte ich zum Ziel kommen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo liebe Matheraum-Mitglieder....
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> zwar sind heute die Winterferien angefangen, trotzdem stehe
> vor einer Aufgabe und komme einfach nicht die richtige
> Idee.
>
> Zeige: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel[n]{x}-1)=log(x)[/mm]
>
> Leider haben wir in der Vorlesung noch nicht die Regel von
> l'Hospital besprochen, also fällt die flach.
>
> Meine bisherigen Umformungen haben nicht zum Ziel
> geführt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel[n]{x}-1)=\limes_{n\rightarrow\infty} n*e^{log(\wurzel[n]{x}-1)}[/mm]
>
> Mit welcher Idee könnte ich zum Ziel kommen?
Vielleicht [mm] n*(\wurzel[n]{x}-1) [/mm] ableiten und zeigen, dass die Ableitung gegen 1/x geht?
Gruß Abakus
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 17.12.2010 | | Autor: | kiwibox |
wir dürfen leider nicht ableiten, das ist mein problem....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> wir dürfen leider nicht ableiten, das ist mein problem....
Also: du darfst nicht L'Hospital verwenden, du darfst nicht ableiten...
Bevor jetzt noch weitere Vorschläge kommen und du dann vielleicht jeweils sagst, dass ihr auch das noch nicht dürft:
Sage uns doch mal, welche Methoden gerade in euren Vorlesungen aktuell sind.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Fr 17.12.2010 | | Autor: | kiwibox |
also wir haben die Eigenschaften von log definiert, haben festgestellt, dass log die Umkehrfunktion von e ist....
hinsichtlich Grenzwerte haben wir extrem wenig gemacht, nur einmal ne Abschätzung über Summen sonst haben wir bisher immer nur die Laufvariable irgendwie ausgeklammert oder mit Cauchy.
Für mich war bis jetzt nichts brauchbares dabei....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo abakus,
eine Zwischenfrage hierzu: Was soll das eigentlich bringen? *grübel*
Also so ein Satz wär mir gar nicht bekannt.... oder fehlen da noch einige Voraussetzungen?
Schöne Freitagsgrüße
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> eine Zwischenfrage hierzu: Was soll das eigentlich bringen?
> *grübel*
> Also so ein Satz wär mir gar nicht bekannt.... oder
> fehlen da noch einige Voraussetzungen?
>
> Schöne Freitagsgrüße
> Gono.
Hallo Gono,
ich habe das gerade mal mit Geogebra durchgespielt: Das konvergiert tatsächlich astrein gegen ln(x).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Fr 17.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
> ich habe das gerade mal mit Geogebra durchgespielt: Das
> konvergiert tatsächlich astrein gegen ln(x).
Ey sischa, alda. Lu-pen-rein!
räwärän
PS: Schon gut konstruiert, die Aufgabe. Meine Hochachtung für den Aufgabensteller. Das muss man erstmal so hübsch verkleiden können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> > ich habe das gerade mal mit Geogebra durchgespielt: Das
> > konvergiert tatsächlich astrein gegen ln(x).
>
> Ey sischa, alda. Lu-pen-rein!
>
>
> räwärän
>
> PS: Schon gut konstruiert, die Aufgabe. Meine Hochachtung
> für den Aufgabensteller. Das muss man erstmal so hübsch
> verkleiden können.
Is schon voll krass, ey! Respeckt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
ich meinte eigentlich eher den Satz über die Ableitungen.
Also wie du darauf kommst, dass wenn man weiß, dass die Ableitungen bzgl. x gegeneinander konvergieren, dass dann auch die ursprünglichen Werte dagegen gehen.
Wäre ja so ein Satz der Art:
Eine Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] konvergiert gegen f, wenn $f'_n$ gegen f' konvergiert.
Und dahingehend ist mir nix bekannt.
Liebe Grüße
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Huhu,
>
> ich meinte eigentlich eher den Satz über die Ableitungen.
> Also wie du darauf kommst, dass wenn man weiß, dass die
> Ableitungen bzgl. x gegeneinander konvergieren, dass dann
> auch die ursprünglichen Werte dagegen gehen.
Das ist natürlich nur der Einstieg (eine notwendige Bedingung). Es könnte statt der Gleichheit immer noch einen Unterschied in Form einer (beim Ableiten wegfallenden) additiven Konstante geben.
Gruß Abakus
>
> Wäre ja so ein Satz der Art:
>
> Eine Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] konvergiert gegen f, wenn [mm]f'_n[/mm]
> gegen f' konvergiert.
> Und dahingehend ist mir nix bekannt.
>
> Liebe Grüße
> Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Das ist natürlich nur der Einstieg (eine notwendige Bedingung).
und das gilt meines Erachtens nach im Allgemeinen eben nicht notwendigerweise.
Deine Behauptung ist ja, dass wenn [mm] $f_n \to [/mm] f$ dann notwendigerweise auch [mm] $f_n' \to [/mm] f'$ gelten müsste.
Dabei führst du aber eine Vertauschung der Grenzwerte durch (Grenzwertbildung der Folge und Grenzwert des Differenzenquotienten), die im Allgemeinen gar nicht das gleiche Ergebnis liefert.
D.h. es kann durchaus auch [mm] $f_n \to [/mm] f$ gelten ohne dass gleichzeitig [mm] $f_n' \to [/mm] f'$ eine notwendige Bedingung sein muss.
Grüße,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 Fr 17.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Huhu,
>
> > Das ist natürlich nur der Einstieg (eine notwendige
> Bedingung).
>
> und das gilt meines Erachtens nach im Allgemeinen eben
> nicht notwendigerweise.
>
> Deine Behauptung ist ja, dass wenn [mm]f_n \to f[/mm] dann
> notwendigerweise auch [mm]f_n' \to f'[/mm] gelten müsste.
Ich dachte umgekehrt:
Wenn man [mm]f_n' \to f'[/mm] nachweisen könnte, dann sollte zumindest auch [mm]f_n \to f+c[/mm] gelten (und idealerweise kann man dann im konkreten Fall zeigen, dass c=0 gilt).
>
> Dabei führst du aber eine Vertauschung der Grenzwerte
> durch (Grenzwertbildung der Folge und Grenzwert des
> Differenzenquotienten), die im Allgemeinen gar nicht das
> gleiche Ergebnis liefert.
>
> D.h. es kann durchaus auch [mm]f_n \to f[/mm] gelten ohne dass
> gleichzeitig [mm]f_n' \to f'[/mm] eine notwendige Bedingung sein
> muss.
>
> Grüße,
> Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:19 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
> Ich dachte umgekehrt:
> Wenn man [mm]f_n' \to f'[/mm] nachweisen könnte, dann sollte
> zumindest auch [mm]f_n \to f+c[/mm] gelten (und idealerweise kann
> man dann im konkreten Fall zeigen, dass c=0 gilt).
naja, letztlich behauptest du:
Aus [mm] $f_n' \to [/mm] f'$ folgt [mm] $f_n [/mm] = [mm] \integral [/mm] f'_n dx [mm] \to \integral [/mm] f' dx = f$
Ich denke da gibts genug Sätze zu, dass das eben nicht ohne Zusatzvoraussetzungen gilt
MFG,
Gono.
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Hallo kiwibox,
das ist ja mal ne nette, kleine und fiese Aufgabe.
Ich nehme an, Ihr dürft aber dies verwenden: [mm] \limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n=e^x [/mm] ?
Die folgenden Umformungen brauchen eigentlich nur ein bisschen Logarithmenrechnung, aber vor allem eine Reihe von Grenzwertsätzen. Auch da ist die Frage, welche Ihr schon hattet. Ich lasse diesen Teil der Aufgabe mal Dir und skizziere nur die Vorgehensweise.
1) Es ist [mm] n\left(\wurzel[n]{x}-1\right)=\ln\left(\left(e^{\wurzel[n]{x}-1}\right)^n\right)
[/mm]
2) Es genügt also zu zeigen: [mm] \limes_{n\to\infty}\left(e^{\wurzel[n]{x}-1}\right)^n=x=e^{\ln{x}}
[/mm]
Die n-te Potenz auf der linken Seite erinnert doch sehr an den eingangs zitierten Satz...
3) Zu zeigen ist damit: [mm] \limes_{n\to\infty}e^{\wurzel[n]{x}-1}=\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{\ln{x}}{n}\right)
[/mm]
oder, ein bisschen umgeformt: [mm] \limes_{n\to\infty}\left(e^{\wurzel[n]{x}-1}-\bruch{\ln{x}}{n}\right)=1
[/mm]
4) Dazu genügt es, folgendes zu zeigen:
4.1) [mm] \limes_{n\to\infty}\wurzel[n]{x}=1 [/mm] und
4.2) [mm] \limes_{n\to\infty}\bruch{\ln{x}}{n}=0
[/mm]
Wie gesagt bin ich aber keineswegs sicher, ob Ihr all die Grenzwertsätze benutzen dürft, die hier nötig sind.
Ansonsten: viel Erfolg!
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Fr 17.12.2010 | | Autor: | kiwibox |
> Hallo kiwibox,
Hallo zurück...und danke, dass du mir hilfst 
> das ist ja mal ne nette, kleine und fiese Aufgabe.
jap. das ist sie wirklich. ich hatte schon eine schlaflose Nacht davon
> Ich nehme an, Ihr dürft aber dies verwenden:
> [mm] \limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n=e^x [/mm] ?
ja. das haben wir definiert.
> Die folgenden Umformungen brauchen eigentlich nur ein
> bisschen Logarithmenrechnung, aber vor allem eine Reihe von
> Grenzwertsätzen. Auch da ist die Frage, welche Ihr schon
> hattet. Ich lasse diesen Teil der Aufgabe mal Dir und
> skizziere nur die Vorgehensweise.
>
> 1) Es ist [mm] n\left(\wurzel[n]{x}-1\right)=\ln\left(\left(e^{\wurzel[n]{x}-1}\right)^n\right)
[/mm]
wie kommst du auf das hoch n?
ich habe es mal probiert: [mm] n*(\wurzel[n]{x}-1)=ln(e^{n*(\sqrt[n]{x}-1)
> 2} [/mm] Es genügt also zu zeigen:
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left(e^{\wurzel[n]{x}-1}\right)^n=x=e^{\ln{x}}[/mm]
>
> Die n-te Potenz auf der linken Seite erinnert doch sehr an
> den eingangs zitierten Satz...
>
> 3) Zu zeigen ist damit:
> [mm]\limes_{n\to\infty}e^{\wurzel[n]{x}-1}=\limes_{n\to\infty}\left(1+\bruch{\ln{x}}{n}\right)[/mm]
>
> oder, ein bisschen umgeformt:
> [mm]\limes_{n\to\infty}\left(e^{\wurzel[n]{x}-1}-\bruch{\ln{x}}{n}\right)=1[/mm]
>
> 4) Dazu genügt es, folgendes zu zeigen:
> 4.1) [mm]\limes_{n\to\infty}\wurzel[n]{x}=1[/mm] und
bereits schon in einer Übungsaufgabe gezeigt
> 4.2) [mm]\limes_{n\to\infty}\bruch{\ln{x}}{n}=0[/mm]
das muss ich wohl dann noch zeigen
> Wie gesagt bin ich aber keineswegs sicher, ob Ihr all die
> Grenzwertsätze benutzen dürft, die hier nötig sind.
>
> Ansonsten: viel Erfolg!
> lg
> reverend
>
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Hallo Kiwi,
es gilt doch:
[mm] $e^{n*x} [/mm] = [mm] \left({e^x}\right)^n$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:13 Sa 18.12.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
in meinem Beitrag ist ein grundlegender Fehler.
Offenbar hat den noch niemand gesehen, obwohl der Beitrag inzwischen oft gelesen wurde.
Der Weg funktioniert so nicht; ich verweise also auf die Lösung von Sax.
Die ist sowieso einfacher.
Bin gerade nur auf Durchflug, erst heute abend wieder am Netz.
Tipp: das Problem liegt im der n-ten Potenz...
Da ist eine Umformung durch keinen Grenzwertsatz abzudecken.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Fr 17.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
der Grenzwert taucht natürlicherweise bei der Berechnung der Ableitung der Funktion f mit f(x) = [mm] a^x [/mm] an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] auf.
Die ist nämlich [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{\Delta{}x\rightarrow 0}\bruch{a^{x_0+\Delta{}x}-a^{x_0}}{\Delta{}x} [/mm] = [mm] a^{x_0}*\limes_{\Delta{}x\rightarrow 0}\bruch{a^{\Delta{}x}-1}{\Delta{}x} [/mm] und deshalb auch speziell für [mm] \Delta{}x [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] : [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] a^{x_0}*\limes_{n\rightarrow\infty}n*(a^{\bruch{1}{n}}-1)
[/mm]
Andererseits ist f(x) = [mm] a^x [/mm] = [mm] e^{x*ln{}a} [/mm] und deshalb [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] a^{x_0}*ln{ }a [/mm] , woraus die Behauptung folgt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Sa 18.12.2010 | | Autor: | kiwibox |
mmh. leider kann ich keine ableitungen verwendet. wir haben die noch nicht bewiesen....was könnte ich denn stattdessen tun?
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Hallo kiwibox,
> mmh. leider kann ich keine ableitungen verwendet. wir haben
> die noch nicht bewiesen....was könnte ich denn stattdessen
> tun?
Sax macht es doch vor. Wie der Übergang vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten funktioniert, weißt Du doch sicher noch aus der Schule. Diesen Übergang kannst Du hier sicher auch dann verwenden, wenn er noch nicht in der Vorlesung vorkam. Letztlich geht es auch dort doch nur um eine Grenzwertbildung, und die ist gerade Euer Thema.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 So 19.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Welche ungleichungen und Gl kennst du für ln(x)
z: Bsp [mm] ln(x)\le [/mm] x-1; = für x=1
wenn du die Differenz [mm] a_n [/mm] -ln(x) bildest und durch n teilst kann man damit zeigen, dass für [mm] x^{1/n} [/mm] gegen 1 die Differenz gegen 0 geht.
Gruss leduart
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