Grenzwert von Teilfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Mo 15.10.2007 | | Autor: | Savoyen |
| Aufgabe | Wenn [mm] lim_{n \to \infty} a_{n} [/mm] = L, [mm] lim_{n \to \infty} a_{2n} [/mm] = L und [mm] lim_{n \to \infty} a_{2n+1} [/mm] = L
Damm gilt L=L. Wie kann man dieses Resultat verallgemeinern?
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Hallo lieber Forumsleser.
Meine Vermutung ist ja, dass dort L=L=L herauskommt, weil [mm] a_{2n} [/mm] sind ja die geraden Folgen und [mm] a_{2n+1} [/mm] die ungeraden Folgen, aus denen [mm] a_n [/mm] besteht. Diese beiden Teilfolgen müssen gegen dasgleiche L konvergieren, also L = L = L.
Ich glaube aber, das ist zu unmathematisch? Das kann man doch sicherlich auch zeigen? Nach meiner Lösung gilt ja schon mal
[mm] |a_n [/mm] L | < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] |a_{2n} [/mm] L | < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] |a_{2n+1} [/mm] L | < [mm] \epsilon
[/mm]
Hat irgendjemand eine Idee?
Tschüss
Savoyen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wenn [mm]lim_{n \to \infty} a_{n}[/mm] = L, [mm]lim_{n \to \infty} a_{2n}[/mm]
> = L und [mm]lim_{n \to \infty} a_{2n+1}[/mm] = L
> Damm gilt L=L. Wie kann man dieses Resultat
> verallgemeinern?
>
> Meine Vermutung ist ja, dass dort L=L=L herauskommt,
> weil [mm]a_{2n}[/mm] sind ja die geraden Folgen und [mm]a_{2n+1}[/mm] die
> ungeraden Folgen, aus denen [mm]a_n[/mm] besteht. Diese beiden
> Teilfolgen müssen gegen dasgleiche L konvergieren, also L =
> L = L.
Hallo,
Deine Vermutung stimmt, das ist schonmal gut.
> Ich glaube aber, das ist zu unmathematisch?
Es fehlt die nötige Beweiskraft. Davon, daß Du schreibst "sie müssen", glaubt der Korrektor das noch lange nicht...
Du mußt ihm hieb- und stichfese Beweise liefern"
> Das kann man
> doch sicherlich auch zeigen?
Ja.
> Nach meiner Lösung gilt ja
> schon mal
> [mm]|a_n[/mm] L | < [mm]\epsilon[/mm]
> [mm]|a_{2n}[/mm] L | < [mm]\epsilon[/mm]
> [mm]|a_{2n+1}[/mm] L | < [mm]\epsilon[/mm]
Du behauptest bzw. wünschst Dir, daß irgendsoetwas gilt.
>
> Hat irgendjemand eine Idee?
Sei [mm] \varepsilon>0
[/mm]
Nach Voraussetzung konvergiert ja [mm] (a_n) [/mm] gegen L.
Also findet man ein [mm] N\in \IN, [/mm] so daß für alle [mm] n\in \IN, [/mm] die größer als diese "Schwelle" N sind [mm] |a_n-L|<\varepsilon.
[/mm]
Du könntest nun zeigen, daß auch die Folgen [mm] (b_n), b_n:=a_{2n} [/mm] und [mm] (c_n), c_n:=a_{2n+1} [/mm] gegen dieses Grenzwert konvergieren.
Da Ihr die Eindeutigkeit des Limes sicher bereits gezeigt habt, bist Du dann fertig.
Zur Verallgemeinerung: überlege Dir, ob es möglich ist, daß eine konvergente Folge ein Teilfolge hat, die gegen einen anderen Grenzwert konvergiert.
Gruß v. Angela
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