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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Grenzwert von Summe u.i.v. ZV
Grenzwert von Summe u.i.v. ZV < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert von Summe u.i.v. ZV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Mo 28.01.2013
Autor: triad

Aufgabe
Sei [mm] X_i, i\in\IN [/mm] eine Folge unabhängig, identisch verteilter (u.i.v.) Zufallsvariablen mit positivem Erwartungswert und endlicher Varianz. Zeigen Sie, dass für jedes $M>0$ gilt

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} P(\sum_{i=1}^{n}X_i>M)=1. [/mm]

Hallo.

Es wurde behauptet, dass man diese Aussage zeigen kann, indem man zeigt, dass

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} P(\sum_{i=1}^{n}X_i\le [/mm] M)=0$.

Dies sei leichter, da man hierauf nämlich die Chebychev-Ungleichung anwenden könne.
In unserer Definition der Chebychev-Ungleichung steht aber, dass für eine reelle ZV X mit [mm] E(X^2)<\infty [/mm] und a>0 gilt
[mm] P(|X-E(X)|\ge a)\le\frac{V(X)}{a^2}. [/mm]

Stimmt das? Weil hier ist das Zeichen ja umgekehrt.


gruß
triad

        
Bezug
Grenzwert von Summe u.i.v. ZV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Mo 28.01.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: ich schreibe statt M mal [mm] \varepsilon [/mm] sonst kommt man mit den ganzen M's durcheinander :-)

zeige zuerst mit Hilfe der Tschebyscheff Ungleichung:

[mm] $\lim_{n\to\infty} \IP\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n \left|M_i - E[M_i]\right| \ge \varepsilon\right) [/mm] = 0$ für beliebiges $M > 0$

Das ist auch bekannt als schwaches Gesetz der großen Zahlen, falls du was zum Nachschlagen haben willst.

Da [mm] $\mu [/mm] := [mm] E[M_1] [/mm] = [mm] E[M_i]$ [/mm] für alle i gilt (warum?), steht dann da nichts anderes als:

[mm] $\lim_{n\to\infty} \IP\left(\left(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^n M_i\right) \in (\mu - \varepsilon, \mu + \varepsilon)\right) [/mm] = 1$.

Schlussfolgere daraus sauber das Gewünschte.

MFG,
Gono.

Bezug
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