Grenzwert von Funktionswerten < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm]f:\IC\rightarrow\IC[/mm] eine nicht konstante holomorphe Funktion. Zeigen Sie, daß es für jedes [mm]w\in\IC[/mm] eine Folge [mm](z_n)_n\subset \IC[/mm] existiert, so, dass [mm]\lim_{n \to \infty}f(z_n)=w[/mm] gilt. |
Hallo,
ich habe mir dazu folgendes überlegt:
f ist nicht konstant, also insbesondere nicht die Nullfunktion. Es gibt zu jedem [mm]c\in\IC[/mm] eine Potenzreihenentwicklung von f, sodaß [mm]f(z)=\sum_{k=1}^{\infty}a_n(z-c)^n=a_0+a_1(z-c)+a_2(z-c)^2+... [/mm]. Wähle nun c so, daß [mm]a_0=w[/mm] und bertachte eine Folge [mm](z_n)[/mm] mit [mm]\lim_{n \to \infty}(z_n)=c[/mm], dann gehen alle Terme [mm](z-c)[/mm] gegen 0 und wegen der Stetigkeit von f gilt:
[mm]\lim_{n \to \infty}f(z_n)=f(\lim_{n \to \infty}(z_n))=\lim_{n \to \infty}f(c)=a_0=w[/mm].
Das kommt mir aber irgendwie zu leicht vor, vielleicht kann ja mal jemand kurz drüber schauen. Vielen Dank!
Grüße
couldbeworse
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> Sei [mm]f:\IC\rightarrow\IC[/mm] eine nicht konstante holomorphe
> Funktion. Zeigen Sie, daß es für jedes [mm]w\in\IC[/mm] eine Folge
> [mm](z_n)_n\subset \IC[/mm] existiert, so, dass [mm]\lim_{n \to \infty}f(z_n)=w[/mm]
> gilt.
> Hallo,
>
> ich habe mir dazu folgendes überlegt:
>
> f ist nicht konstant, also insbesondere nicht die
> Nullfunktion. Es gibt zu jedem [mm]c\in\IC[/mm] eine
> Potenzreihenentwicklung von f, sodaß
> [mm]f(z)=\sum_{k=1}^{\infty}a_n(z-c)^n=a_0+a_1(z-c)+a_2(z-c)^2+... [/mm].
> Wähle nun c so, daß [mm]a_0=w[/mm]
Bei jeder Potenzreihe mit Entwicklungspunkt c ist [mm] a_0=f(c), [/mm] d.h. du setzt bei deinem "Beweis" bereits voraus, dass es ein c gibt mit f(c)=w.
> und bertachte eine Folge [mm](z_n)[/mm]
> mit [mm]\lim_{n \to \infty}(z_n)=c[/mm], dann gehen alle Terme [mm](z-c)[/mm]
> gegen 0 und wegen der Stetigkeit von f gilt:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}f(z_n)=f(\lim_{n \to \infty}(z_n))=\lim_{n \to \infty}f(c)=a_0=w[/mm].
>
> Das kommt mir aber irgendwie zu leicht vor, vielleicht kann
> ja mal jemand kurz drüber schauen. Vielen Dank!
Ein erfolgversprechenderer Ansatz ist: Du nimmst an, es gibt ein w, für das es keine solche Folge gibt und betrachtest die holomorphe Funktion [mm] g(z)=\frac{1}{f(z)-w}
[/mm]
>
> Grüße
> couldbeworse
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Danke, habs jetzt hinbekommen!
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