Grenzwert und epsilon < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Sa 09.12.2006 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert a der Folgen für [mm] {n\rightarrow\infty}, [/mm] sowie eine natürliche Zahl N, so dass für das angegebene [mm] \varepsilon [/mm] und für alle n > N gilt: [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
a) [mm] (a_{n}) [/mm] = [mm] (\bruch{4n}{2n-1}), \varepsilon [/mm] = 0.1
b) [mm] (a_{n}) [/mm] = [mm] (\bruch{(-1)^{n}}{2n}), \varepsilon [/mm] = 0.1 |
Hallo Leute
Bei mir geht es wieder um Grenzwerte, nur diesmal möchten die Aufgaben noch mit dem [mm] \varepsilon [/mm] wissen.
bei a) ist der Grenzwert ja 2 (herausgefunden durch ausprobieren, vielleicht hat mir jemand noch ein Vorgehen, wie ich diese 2 systematisch herausfinden kann)
Ist das [mm] \varepsilon [/mm] nun also von 0.1 bis 3.9, da es ja quasi "um" den Grenzwert gelegt werden muss? Liege ich da richtig? Wenn ja, wie muss ich nun weiter vorgehen? Wenn möglich, bitte nichts an Wissen voraussetzen, weil ich muss leider feststellen, dass ich auf diesem Gebiet nicht so der "Hellste" bin  Danke schon im Voraus für eure Hilfe.
Grüsse belimo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Sa 09.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belimo!
Bei der ersten Aufgabe kannst Du den Grenzwert auch berechnen, indem Du hier in Zähler und Nenner $n_$ ausklammerst:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4*n}{2*n-1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4*n}{n*\left(2-\bruch{1}{n}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{4}{2-\bruch{1}{n}}$
[/mm]
Nun die Grenzwertbetrachtung [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] liefert: $... \ = \ [mm] \bruch{4}{2-0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{2} [/mm] \ = \ 2$
Mit dem [mm] $\varepsilon [/mm] \ = \ 0.1$ sollst Du also berechnen, ab welchem $n \ > \ N$ alle Folgenglieder im Intervall [mm] $\left] \ 1.9; \ 2.1 \ \right[$ [/mm] liegen.
Aber berechnen nun einfach: [mm] $\left| \ a_n-a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{4*n}{2*n-1}-2 \ \right| [/mm] \ = \ ... \ < 0.1$ und stelle nach $n \ > \ ...$ um.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Sa 09.12.2006 | | Autor: | belimo |
Danke. Hoffe kriege die Grenzwert betrachtung das nächste Mal alleine hin
Danke auch für den Hinweis, wie man dieses [mm] \varepsilon [/mm] behandeln muss.
Jetzt wegen der Berechnung:
Aufgabe a)
[mm] \bruch{4n}{2n-1}-2 [/mm] > 0,1
[mm] \gdw \bruch{4n}{2n-1} [/mm] > 2,1
[mm] \gdw [/mm] 4n > 2.1 (2n-1)
[mm] \gdw [/mm] 4n > 4,2n - 2,1
[mm] \gdw [/mm] 2,1 > 0,2n
[mm] \gdw [/mm] n < 10,5
Dummerweise steht in der Lösung N = 100. Mein Resultat muss also falsch sein. Weisst du was ich falsch gemacht habe?
Auch bei b) stellt sich mir ein Problem, welche ich nicht selber zu lösen vermag:
[mm] \bruch{(-1)^{n}}{2n} [/mm] > 0,1
[mm] \gdw (-1)^{n} [/mm] > 0,2n
... ??? aber wie nun weiter? Bin völlig ratlos. Eurer ratloser belimo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 So 10.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo belimo!
Einerseits unterschlägst Du bei der Berechnung (etwas voreilig) die Betragsstriche bei [mm] $\left| \ a_n-a \ \right|$ [/mm] .
Zudem muss gelten, dass dieser Ausdruck kleiner ist als [mm] $\varepsilon$ [/mm] !
[mm] $\left| \ \bruch{4n}{2n-1}-2 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{4n}{2n-1}-\bruch{2*(2n-1)}{2n-1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{4n-2*(2n-1)}{2n-1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{4n-4n+2}{2n-1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{2}{2n-1} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{| \ 2 \ |}{| \ 2n-1 \ |} [/mm] \ = \ [mm] \red{\bruch{2}{2n-1} < \ 0.1}$
[/mm]
Nun umformen ...
Und auch bei der 2. Aufgabe die Betragsstriche ansetzen: dann wird aus dem [mm] $(-1)^n$ [/mm] ganz schnell eine bescheidene $1_$ ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 So 10.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen belimo!
> Dummerweise steht in der Lösung N = 100.
Kann es sein, dass hier nach [mm] $\varepsilon [/mm] \ < \ [mm] 0.\red{0}1$ [/mm] gefragt ist? Das würde nämlich zur genannten Lösung passen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 07.01.2007 | | Autor: | belimo |
Naja, und jetzt wollte ich gerade die Benachrichtigungen wieder einschalten und las:
"eMail-Benachrichtigungen unserer Foren-Artikel sind für unbestimmte Zeit deaktiviert.
(Wegen Neu-Programmierung.)"
Tja... Der Nachteil einer Eigenprogrammierung. Dafür hat dieses Forum als einziges Forum, welches ich kenne die Funktion "offene Fragen", die ist einfach unschlagbar!
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