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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Di 20.06.2006 | | Autor: | Wapiya |
| Aufgabe | Geg.: [mm] z\in{U}, U\subset \IC [/mm] offen, [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] B(z,\varepsilon)\subset{U}, |h|<\varepsilon. [/mm] Dann
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\integral_{0}^{1}{f(z+th) dt}=f(z)
[/mm]
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Warum ist das so? Ich bräuchte eine genaue Erklärung, warum ich den Limes ins Integral ziehn kann. Dann wärs mir klar. Bzw. warum das sonst geht.
Vielen Dank
Wapiya
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Hallo Wapiya,
> Geg.: [mm]z\in{U}, U\subset \IC[/mm] offen, [mm]\varepsilon>0[/mm] und
> [mm]B(z,\varepsilon)\subset{U}, |h|<\varepsilon.[/mm] Dann
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\integral_{0}^{1}{f(z+th) dt}=f(z)[/mm]
>
> Warum ist das so? Ich bräuchte eine genaue Erklärung, warum
> ich den Limes ins Integral ziehn kann. Dann wärs mir klar.
> Bzw. warum das sonst geht.
Das ist halb so wild. substituiere mal $s=th$ und wende anschließend den mittelwertsatz der integralrechnung an. dann bist du fertig.
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Wapiya |
Hallo Matthias
Erst einmal Danke für Deine Antwort. Dazu habe ich allerdings ein paar Nachfragen:
1) Ist der Mittelwertsatz des Rellen ohne Probleme auf komplexe Zahlen übertragbar? Meintest Du bei deiner Subst. vielleicht s=z+th? Dazu hätte ich dann auch was gefunden. Aber halt auch nur im Rellen.
2) Ich kann mein Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(z+th) dt} [/mm] wegen der Linearität von f aufteilen in [mm] \integral_{0}^{1}{f(z) dt} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{f(ht) dt}. [/mm] Das erste Integral ist dann ja genau gleich f(z). Und mittels deiner Substitution bekomme ich für das zweite [mm] \integral_{0}^{h}{f(s) ds}. [/mm] Also somit muss [mm] \limes_{h\rightarrow{0}}\integral_{0}^{h}{f(s) ds}=0 [/mm] gelten. Gibt es dafür einen Satz den ich nicht kenne? Ich meine irgendwie erscheint mir das schon logisch, aber...
Könntest Du (oder jemand anderes) mir hier noch mal weiterhelfen?
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also zunächst mal lässt sich der MWS problemlos auf komplexe integrale verallgemeinern.
ich meinte tatsächlich die substitution $s=th$. man kommt dann auf
[mm] $...=\frac1h \int_0^h [/mm] { f(z+s)ds}$
wenn du hier den MWS anwendest und dann h gegen 0 gehen lässt, bist du fertig.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 21.06.2006 | | Autor: | Wapiya |
Hallo Matthias
Also irgendwie habe ich ja das Gefühl, dass ich mich ein wenig blöd anstelle. Nun folgendes:
Insgesamt verstehe ich was du machst, und kann das auch (größtenteils) nachvollziehen. Meine Probleme sind
1) Genereller Natur, weil ich vermute, da wir den MWS nie behandelt haben, dass irgendwie anders lösen sollen.
2) Eine generelle Frage zu deiner Substitution: Im Integranden steht ja f(z + th) und du subst. jetzt s=th. Generell verstehe ich dann auch, wie du dann auf die neuen Integralgrenzen und das 1/h kommst. Meine Frage ist jedoch: Du hast ja f(z+th). Warum kannst du da das z so einfach vernachlässigen. Ich kenne das nur für f(z) + f(th).
Gruß und vielen Dank
Wapiya
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Hallo Wapiya,
> Hallo Matthias
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> Also irgendwie habe ich ja das Gefühl, dass ich mich ein
> wenig blöd anstelle. Nun folgendes:
> Insgesamt verstehe ich was du machst, und kann das auch
> (größtenteils) nachvollziehen. Meine Probleme sind
> 1) Genereller Natur, weil ich vermute, da wir den MWS nie
> behandelt haben, dass irgendwie anders lösen sollen.
das kann ich nicht einschätzen. aber der MWS der integralrechnung ist eigentlich ein grundlegendes instrument der analysis.
> 2) Eine generelle Frage zu deiner Substitution: Im
> Integranden steht ja f(z + th) und du subst. jetzt s=th.
> Generell verstehe ich dann auch, wie du dann auf die neuen
> Integralgrenzen und das 1/h kommst. Meine Frage ist jedoch:
> Du hast ja f(z+th). Warum kannst du da das z so einfach
> vernachlässigen. Ich kenne das nur für f(z) + f(th).
du kannst auch $u=z+th$ substituieren, da kommst du genauso zum ziel.
Gruß
Matthias
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