Grenzwert mit Potenzreihe < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Do 03.11.2011 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grenzwert mit dem Potenzreihenansatz |
Das ist die Aufgabe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] = [mm] \bruch{ln(1+x)}{x}
[/mm]
Wie bildet man den Potenzreihenansatz? Nach Taylor bildet man die Ableitungen und erhält:
f(x) = [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{f'(x_{0})}{1!} [/mm] * [mm] (x-x_{0}) [/mm] + [mm] \bruch{f''(x_{0})}{2!} [/mm] * [mm] (x-x_{0})^{2} [/mm] + ...
dann erhält man:
ln(2) + 1/2 - ln(2) (x-1) + [mm] \bruch{(-5/4) 2*ln(2)}{2!} (x-1)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{4 - 6*ln(2)}{3!}
[/mm]
Doch daraus lässt sich keine sinnvolle Reihe bilden, und selbst wenn, wie kommt man dann auf den Grenzwert?
Liebe Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie den Grenzwert mit dem Potenzreihenansatz
> Das ist die Aufgabe:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0}[/mm] = [mm]\bruch{ln(1+x)}{x}[/mm]
Dem Quelltext entnehme ich, dass es um folgenden GW geht:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{ln(1+x)}{x}
[/mm]
>
> Wie bildet man den Potenzreihenansatz? Nach Taylor bildet
> man die Ableitungen und erhält:
>
> f(x) = [mm]f(x_{0})[/mm] + [mm]\bruch{f'(x_{0})}{1!}[/mm] * [mm](x-x_{0})[/mm] +
> [mm]\bruch{f''(x_{0})}{2!}[/mm] * [mm](x-x_{0})^{2}[/mm] + ...
>
> dann erhält man:
> ln(2) + 1/2 - ln(2) (x-1) + [mm]\bruch{(-5/4) 2*ln(2)}{2!} (x-1)^{2}[/mm]
> + [mm]\bruch{4 - 6*ln(2)}{3!}[/mm]
Was machst Du da ??????
>
> Doch daraus lässt sich keine sinnvolle Reihe bilden, und
> selbst wenn, wie kommt man dann auf den Grenzwert?
Das hattet Ihr sicher:
$ln(1+x) = [mm] \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}k [/mm] = [mm] x-\frac{x^2}2 [/mm] + [mm] \frac{x^3}3 -\frac{x^4}4 \pm \dotsb [/mm] $ für |x|<1
Nun berechne damit [mm] \bruch{ln(1+x)}{x} [/mm] und schau was passiert, wenn x [mm] \to [/mm] 0 geht
FRED
>
> Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 03.11.2011 | | Autor: | krueemel |
ln(1+x) = [mm] \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}k [/mm] = [mm] x-\frac{x^2}2 [/mm] + [mm] \frac{x^3}3 -\frac{x^4}4 \pm \dotsb
[/mm]
das verstehe ich ja; aber wie verändert sich die Reihe, wenn ich durch x teile, das versteh ich nicht.
oder berechne ich es dann wie folgt:
[mm] \bruch{x-\frac{x^2}2 + \frac{x^3}3 -\frac{x^4}4 \pm \dotsb}{x} [/mm] mit x [mm] \to [/mm] 0
ist dann:
1-0+0-0+0-0+... = 1
das verstehe ich ja, aber wie verändert sich die Reihe, wenn ich durch x teile, das versteh ich nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 03.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ln(1+x) = [mm]\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^k}k[/mm] =
> [mm]x-\frac{x^2}2[/mm] + [mm]\frac{x^3}3 -\frac{x^4}4 \pm \dotsb[/mm]
>
> das verstehe ich ja; aber wie verändert sich die Reihe,
> wenn ich durch x teile, das versteh ich nicht.
Das glaube ich nicht !
[mm] \bruch{ln(1+x)}{x}= \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{x^{k-1}}k= 1-\frac{x}2+\frac{x^2}3 -\frac{x^3}4 \pm \dotsb
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Do 03.11.2011 | | Autor: | krueemel |
vielen Dank, ich hab meinen Post zeitgleich bearbeitet und ähnlich gelöst.
|
|
|
|
