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Forum "Integralrechnung" - Grenzwert mit Integral
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Grenzwert mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:31 Mi 12.09.2007
Autor: pleaselook

Aufgabe
Bestimme den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 3}\bruch{1}{x^2-6x+9} \integral_{3}^{x}{(t-3)e^{-t^2} dt} [/mm]

O.k. man könnte das Integral bestimmen und dann standartmäßig weitermachen.
Oder man wendet gleich l'Hospital an? Nur da bräuchte ich mal nen Tipp was ich mit den Intervallgrenzen mache. Hmmm. Oder kommt da für das Integral einfach Integrand(x)-Integrand(3) raus?

        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Mi 12.09.2007
Autor: rainerS

Hallo,

> Oder man wendet gleich l'Hospital an?

Das erscheint mir am Einfachsten.

> Nur da bräuchte ich
> mal nen Tipp was ich mit den Intervallgrenzen mache.

Du kennst doch den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung, oder?

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Grenzwert mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Mi 12.09.2007
Autor: pleaselook

Hab mal grad nachgeschaut.
Hmm.
[mm] \integral_{3}^{x}{f(t) dt}=F(x)-F(3) [/mm]
und wenn ich das dann ableite bleibt f(x) übrig, da F(3) konstant ist?
Dann bleibt wenn man das Integral ableitet nur [mm] (x-3)e^{-x^2} [/mm] übrig?

Wie kann ich das sauber aufschreiben?



Bezug
                        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Mi 12.09.2007
Autor: holwo

hallo,

naja, guck dir das an:
(Hauptsatz der differenzial-Integralrechnung)

wenn [mm] g(x)=\integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm]
dann g'(x) = f(x)

beispiel:
[mm] g(x)=\integral_{a}^{x}{t dt} [/mm]
g'(x) = x

wenn statt x ein [mm] x^2 [/mm] steht z.b. muss man bei der differentiation aufpassen:

bsp:
[mm] g(x)=\integral_{a}^{x^2}{t dt} [/mm]
g'(x) = [mm] 2x^2 [/mm]

Ich habe in f(t) mein t durch [mm] x^2 [/mm] ersetzt, und wenn ich das ableite, brauch ich die kettenregel (2x)' = 2

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Grenzwert mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:29 Mi 12.09.2007
Autor: pleaselook

ja gut. Eigentlich müßte meine Lösung ja dann passen, oder?


Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Deine Lösung?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Mi 12.09.2007
Autor: Roadrunner

Hallo pleaselook!


Wie lautet denn Deine Lösung? Meinst Du oben den Zähler nach Anwendung von Herrn de l'Hopsital? Das stimmt. [ok]

Was erhältst Du dann insgesamt als Lösung für den Grenzwert?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert mit Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:04 Mi 12.09.2007
Autor: pleaselook

[mm] \limes_{x\rightarrow3}\bruch{1}{x^2-6x+9}\integral_{3}^{x}{f(x) dx}\overbrace{=}^{l'Hosp.}\limes_{x\rightarrow3}\bruch{(x-3)e^{-x^2}}{2x-6}\overbrace{=}^{l'Hosp.}\limes_{x\rightarrow3}\bruch{e^{-x^2}-2x(x-3)e^{-x^2}}{2}=\limes_{x\rightarrow3}\bruch{(-2x^2+6x+1)e^{-x^2}}{2}=\bruch{e^{-9}}{2}=\bruch{1}{2e^9} [/mm]

Richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert mit Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Mi 12.09.2007
Autor: holwo

alles stimmt :)

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