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| Aufgabe | Es seien f: [mm] X\rightarrow \IR [/mm] und g: [mm] X\rightarrow \IR [/mm] und (X, [mm] \succ) [/mm] eine Menge mit einer Richtung. Es gelte [mm] f\rightarrow [/mm] 0.
Gibt es dann ein [mm] M\in \IR^+ [/mm] und ein [mm] x_1 \in [/mm] X mit
| g(x) | [mm] \leq [/mm] M|f(x) | für alle x [mm] \succ x_1,
[/mm]
so gilt auch [mm] g\rightarrow [/mm] 0. |
Idee:
aus f [mm] \rightarrow [/mm] 0 folgt
[mm] \exists x_0 \in [/mm] X [mm] :|f(x)|<\epsilon \forall [/mm] x [mm] \succ x_0
[/mm]
Also Existiert auch ein [mm] x_1 [/mm] so das gilt
[mm] |f(x)|<\frac{\epsilon}{M} \forall [/mm] x [mm] \succ x_1
[/mm]
[mm] ->|f(x)|*M<\frac{\epsilon}{M}*M
[/mm]
[mm] ->|f(x)|*M<\epsilon
[/mm]
da |g(x)| [mm] \leq [/mm] M|f(x)|
-> |g(x)| < [mm] \epsilon [/mm] für alle x [mm] \succ x_1
[/mm]
also
[mm] g\rightarrow [/mm] 0
stimmt das so?
p.s. ich habe die Frage (jedoch ohne Reaktion) auch in einem anderen Forum gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=474852
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:00 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien f: [mm]X\rightarrow \IR[/mm] und g: [mm]X\rightarrow \IR[/mm] und
> (X, [mm]\succ)[/mm] eine Menge mit einer Richtung. Es gelte
> [mm]f\rightarrow[/mm] 0.
>
> Gibt es dann ein [mm]M\in \IR^+[/mm] und ein [mm]x_1 \in[/mm] X mit
> | g(x) | [mm]\leq[/mm] M|f(x) | für alle x [mm]\succ x_1,[/mm]
>
> so gilt auch [mm]g\rightarrow[/mm] 0.
>
> Idee:
> aus f [mm]\rightarrow[/mm] 0 folgt
> [mm]\exists x_0 \in[/mm] X [mm]:|f(x)|<\epsilon \forall[/mm] x [mm]\succ x_0[/mm]
>
> Also Existiert auch ein [mm]x_1[/mm] so das gilt
> [mm]|f(x)|<\frac{\epsilon}{M} \forall[/mm] x [mm]\succ x_1[/mm]
Das ist ein anderes [mm] x_1 [/mm] als aus der Aufgabenstellung !!!
>
> [mm]->|f(x)|*M<\frac{\epsilon}{M}*M[/mm]
> [mm]->|f(x)|*M<\epsilon[/mm]
>
> da |g(x)| [mm]\leq[/mm] M|f(x)|
> -> |g(x)| < [mm]\epsilon[/mm] für alle x [mm]\succ x_1[/mm]
> also
> [mm]g\rightarrow[/mm] 0
>
>
>
>
> stimmt das so?
Nein.
Zu [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm]\exists x_0 \in[/mm] X [mm]:|f(x)|<\epsilon/M\forall[/mm] x [mm]\succ x_0[/mm]
Nach Vor. gibt es ein [mm]x_1 \in[/mm] X mit | g(x) | [mm]\leq[/mm] M|f(x) | für alle x [mm]\succ x_1,[/mm]
So, jetzt hast Du [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1. [/mm] Wie bastelts Du Dir nun ein [mm] x_2 [/mm] mit:
[mm] |g(x)|<\epsilon \forall [/mm] x [mm] \succ x_2
[/mm]
?
FRED
>
>
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> p.s. ich habe die Frage (jedoch ohne Reaktion) auch in
> einem anderen Forum gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=474852
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es gibt ja nach unserer definition von gerichteten Mengen immer ein [mm] x_2 [/mm] für das gilt:
[mm] x_2 \succ x_0 [/mm] und [mm] x_2 \succ x_1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 So 27.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> es gibt ja nach unserer definition von gerichteten Mengen
> immer ein [mm]x_2[/mm] für das gilt:
>
> [mm]x_2 \succ x_0[/mm] und [mm]x_2 \succ x_1[/mm]
Na also, dann nimm das.
FRED
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Manchmal kann es so einfach sein...
Danke ;)
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