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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Servus,
meine Aufgabe lautet wie folgt:
Beweisen Sie:
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}x^{n}(lnx)^{m}=0 [/mm] (n,m [mm] \in \IN)
[/mm]
-------------------------------------------------------------------------------------
[mm] x^{n}\to [/mm] 0 (für [mm] x\to0)
[/mm]
[mm] (lnx)^{m}\to \pm\infty [/mm] (für [mm] x\to0) [/mm] Hier kommt es drauf an, ob das [mm] m\in\IN [/mm] gerade oder ungerade ist.
Dann forme ich es um, damit ich l'Hospital anwenden kann:
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{(lnx)^{m}}{\bruch{1}{x^{n}}}
[/mm]
Nun leite ich Zähler und Nenner ab:
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m(lnx)^{m-1}*\bruch{1}{x}}{\bruch{-n}{x^{n+1}}}
[/mm]
So, ab jetzt bin ich mir unsicher, wie man weiter vorgehen muss:
[mm] m(lnx)^{m-1} [/mm] und [mm] \bruch{1}{x} \to \infty [/mm] für [mm] x\to0
[/mm]
[mm] \bruch{-n}{x^{n+1}} \to0 [/mm] für [mm] x\to0
[/mm]
Muss ich jetzt nochmal ableiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
Im Zähler und im Nenner [mm] \frac{1}{x} [/mm] kürzen und das Ganze so lange wiederholen (also nach l'Hospital ableiten und dann kürzen), bis im Zähler kein Logarithmus mehr steht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Aber der Ausdruck mit dem lnx behält doch irgendwie immer das lnx bei, da es ja nach Kettenregel abgeleitet wird und das lnx als stehen bleibt, wenn man die äußere Ableitung bildet... oder irre ich mich da jetzt?
Und ist [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gekürzt mit [mm] \bruch{-n}{x^{n+1}} [/mm] dann [mm] \bruch{-n}{x^{n}} [/mm] (also im Nenner dann)?
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> Aber der Ausdruck mit dem lnx behält doch irgendwie immer
> das lnx bei, da es ja nach Kettenregel abgeleitet wird und
> das lnx als stehen bleibt, wenn man die äußere Ableitung
> bildet... oder irre ich mich da jetzt?
Naja, da steht in der Potenz ja erst m-1, dann m-2 ..... bis da m-m steht.
Was ist m-m? Was steht dann da?
> Und ist [mm]\bruch{1}{x}[/mm] gekürzt mit [mm]\bruch{-n}{x^{n+1}}[/mm] dann
> [mm]\bruch{-n}{x^{n}}[/mm] (also im Nenner dann)?
Jop.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Also leite ich erneut ab erhalte ich (sofern ich mich net verrrechnet hab):
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m*(m-1)*(lnx)^{m-2}*\bruch{1}{x}}{\bruch{n²}{x^{n+1}}} [/mm] dann wieder das [mm] \bruch{1}{x} [/mm] kürzen liefert
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m*(m-1)*(lnx)^{m-2}}{\bruch{n²}{x^{n}}}
[/mm]
Dann muss man es wohl m-mal ableiten bis man das bekommt:
[mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m*(m-1)*(m-2)*(m-3)*...*(m-m)(lnx)^{m-m}}{\bruch{n^{m}}{x^{n}}}
[/mm]
Dann fällt doch aber im Zähler das x genaz raus :d
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Sa 20.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also leite ich erneut ab erhalte ich (sofern ich mich net
> verrrechnet hab):
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m*(m-1)*(lnx)^{m-2}*\bruch{1}{x}}{\bruch{n²}{x^{n+1}}}[/mm]
> dann wieder das [mm]\bruch{1}{x}[/mm] kürzen liefert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m*(m-1)*(lnx)^{m-2}}{\bruch{n²}{x^{n}}}[/mm]
>
> Dann muss man es wohl m-mal ableiten bis man das bekommt:
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m*(m-1)*(m-2)*(m-3)*...*(m-m)(lnx)^{m-m}}{\bruch{n^{m}}{x^{n}}}[/mm]
Das stimmt nicht ganz, der Faktor (m-m) im Zähler ist zuviel. Und du hast vergessen, dass bei jeder Ableitung des Nenners ein Faktor (-1) auftritt.
> Dann fällt doch aber im Zähler das x genaz raus :d
Ja, und was kommt dann heraus?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 So 21.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Müsste ich dann nicht folgendes erhalten:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m\cdot{}(m-1)\cdot{}(m-2)\cdot{}(m-3)\cdot{}...(lnx)^{m-m}}{\bruch{(-1)^{m}n^{m}}{x^{n}}} [/mm] $
= $ [mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{m!}{\bruch{(-1)^{m}n^{m}}{x^{n}}} [/mm] $
Dieser Ausdruck geht dann gegen 0 für [mm] x\to0, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 So 21.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hanz!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 So 21.12.2008 | | Autor: | Hanz |
Danke!
Frohen 4. Advent an alle netten Helfer :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Sa 20.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]m(lnx)^{m-1}[/mm] und [mm]\bruch{1}{x} \to \infty[/mm] für [mm]x\to0[/mm]
> [mm]\bruch{-n}{x^{n+1}} \to0[/mm] für [mm]x\to0[/mm]
Du meinst [mm]\bruch{-n}{x^{n+1}}\to\pm\infty [/mm] für [mm]x\to0[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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