Grenzwert, hebbare Lücken usw. < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | 1. Bestimmen Sie a) [mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x²}{x^4-2}$ [/mm] b) [mm] $\limes_{x\rightarrow -1}\bruch{x²-x-2}{x+1}$ [/mm]
2. Eine Funktion f wird duch die Gleichung [mm] $f(x)=\bruch{x²+5x-14}{x(x-2)(x-7)}$ [/mm] beschrieben.
a) An welchen Stellen [mm] $x\in\IR$ [/mm] ist f(x) nicht definiert?
b) Bestimmen Sie [mm] $\limes_{x\rightarrow 2}f(x)$.
[/mm]
c) Welche Definitionslücken sind Pole?
3. Bestimmen Sie mithilfe der Grenzwertsätze [mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x(x²-4)}{2(x^4-9)}$ [/mm] |
Hallo Zusammen,
hier meine Lösung:
1.a)
[mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x²}{x^4-2} [/mm] = 0$, der Nenner wächst viel mehr als der Zähler, somit strebt die Funktion gegen Null, oder sollte man hier etwas anderes tun? Man kann auch durch die höchste Potenz im Nenner teilen, also:
[mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x²}{x^4-2} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{x²}}{1-\bruch{2}{x^4}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{0}{1-0} [/mm] = 0$
b) man soll nur herausfinden, wenn der nenner null ist, die nicht definierte lücke x=-1 hebbar ist oder nicht?
[mm] $\limes_{x\rightarrow -1}\bruch{x²-x-2}{x+1}$
[/mm]
[mm] $f(-1+h)=\bruch{(-1+h)²-(-1+h)-2}{(-1+h)+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-2h+h²+1-h-2}{h} [/mm] = [mm] \bruch{-3h+h²}{h} [/mm] = [mm] -\bruch{3h}{h} [/mm] + [mm] \bruch{h²}{h} [/mm] = -3 + h$
[mm] $f(-1-h)=\bruch{(-1-h)²-(-1-h)-2}{(-1-h)+1} [/mm] = [mm] \bruch{1+2h+h²+1+h-2}{-h} [/mm] = [mm] \bruch{3h+h²}{-h} [/mm] = [mm] -\bruch{3h}{h} [/mm] - [mm] \bruch{h²}{h} [/mm] = -3 - h$
[mm] $\limes_{x\rightarrow -1} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}(-3+h)=-3$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow -1} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}(-3-h)=-3$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow x0}f(x) [/mm] = -3$, Lücke ist hebbar, Zusatzdefinition f(-1)=-3, passt das so?
2.a) Es ist nicht definiert, wenn der Nenner Null wird, also x=2 und x=7, oder?
b) [mm] $\limes_{x\rightarrow 2}=\bruch{x²+5x-14}{x(x-2)(x-7)}$, [/mm] wenn als oder der Nenner Null wird. Wie kann man diese Funktion vereinfachen, wenn ich für x=2+h und x=2-h einsetze komm ich auf keine Lösung?
c) Vom Pol spricht man doch wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert an der Lücke uneigentlich sind, also +unendlich und -unendlich. Soll man dies berechnen? Hierbei hab ich keinen Ansatz
3. [mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x(x²-4)}{2(x^4-9)}$
[/mm]
Hierbei habe ich schon Hilfe bekommen und zwar folgenden Ansatz:
> Bei Aufgabe c.) im Zähler $ [mm] x^2 [/mm] $ ausklammern und im Nenner den Term $ [mm] x^4 [/mm] $ .
>
> Beispiel: $ [mm] \left(x^2-4\right) [/mm] \ = \ [mm] x^2\cdot{}\left(1-\bruch{4}{x^2}\right) [/mm] $
Ich kann doch auch durch die höchste im Nenner vorkommende Potenz dividieren, ich soll ja untersuchen, was passiert wenn x gegen unendlich läuft, ob es einen Grenzwert gibt. Hier mein Ansatz:
[mm] $\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{x³}(\bruch{1}{x²}-\bruch{4}{x^4})}{\bruch{1}{x^4}(1 - \bruch{9}{x^4})} [/mm] = [mm] \bruch{0(0-0)}{0(1-0)} [/mm] = 0$
Die Funktion hat den Grenzwert g=0, oder ist dies der falsche Weg?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Fr 07.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1. Bestimmen Sie a) [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x²}{x^4-2}[/mm]
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow -1}\bruch{x²-x-2}{x+1}[/mm]
>
> 2. Eine Funktion f wird duch die Gleichung
> [mm]f(x)=\bruch{x²+5x-14}{x(x-2)(x-7)}[/mm] beschrieben.
>
> a) An welchen Stellen [mm]x\in\IR[/mm] ist f(x) nicht definiert?
> b) Bestimmen Sie [mm]\limes_{x\rightarrow 2}f(x)[/mm].
> c) Welche
> Definitionslücken sind Pole?
>
> 3. Bestimmen Sie mithilfe der Grenzwertsätze
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x(x²-4)}{2(x^4-9)}[/mm]
>
> Hallo Zusammen,
>
> hier meine Lösung:
>
> 1.a)
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x²}{x^4-2} = 0[/mm], der
> Nenner wächst viel mehr als der Zähler, somit strebt die
> Funktion gegen Null, oder sollte man hier etwas anderes
> tun? Man kann auch durch die höchste Potenz im Nenner
> teilen, also:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x²}{x^4-2} = \limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{x²}}{1-\bruch{2}{x^4}} = \limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{0}{1-0} = 0[/mm]
>
Das ist so korrekt, die zweite Methode ist aber die mathematisch korrekte.
>
> b) man soll nur herausfinden, wenn der nenner null ist, die
> nicht definierte lücke x=-1 hebbar ist oder nicht?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1}\bruch{x²-x-2}{x+1}[/mm]
>
> [mm]f(-1+h)=\bruch{(-1+h)²-(-1+h)-2}{(-1+h)+1} = \bruch{1-2h+h²+1-h-2}{h} = \bruch{-3h+h²}{h} = -\bruch{3h}{h} + \bruch{h²}{h} = -3 + h[/mm]
>
> [mm]f(-1-h)=\bruch{(-1-h)²-(-1-h)-2}{(-1-h)+1} = \bruch{1+2h+h²+1+h-2}{-h} = \bruch{3h+h²}{-h} = -\bruch{3h}{h} - \bruch{h²}{h} = -3 - h[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1} = \limes_{h\rightarrow 0}(-3+h)=-3[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1} = \limes_{h\rightarrow 0}(-3-h)=-3[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow x0}f(x) = -3[/mm], Lücke ist hebbar,
> Zusatzdefinition f(-1)=-3, passt das so?
Korrekt
>
>
> 2.a) Es ist nicht definiert, wenn der Nenner Null wird,
> also x=2 und x=7, oder?
Fast, du hast die Nennernullstelle x=0 vergessen.
>
> b) [mm]\limes_{x\rightarrow 2}=\bruch{x²+5x-14}{x(x-2)(x-7)}[/mm],
> wenn als oder der Nenner Null wird. Wie kann man diese
> Funktion vereinfachen, wenn ich für x=2+h und x=2-h
> einsetze komm ich auf keine Lösung?
Wo hakt es denn genau. Wenn du für x=2+h einsetzt, misst du die Grenzwertbetrachtung für [mm] h\to0 [/mm] machen.
>
> c) Vom Pol spricht man doch wenn linksseitiger und
> rechtsseitiger Grenzwert an der Lücke uneigentlich sind,
> also +unendlich und -unendlich. Soll man dies berechnen?
> Hierbei hab ich keinen Ansatz
>
Polstellen sind die nicht hebbaren Def.-Lücken. ALso musst du ausschliessen, dass die Lücke hebbar ist, wenn nicht, hast du eine Polstelle.
> 3. [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x(x²-4)}{2(x^4-9)}[/mm]
>
> Hierbei habe ich schon Hilfe bekommen und zwar folgenden
> Ansatz:
>
> > Bei Aufgabe c.) im Zähler [mm]x^2[/mm] ausklammern und im Nenner den
> Term [mm]x^4[/mm] .
> >
> > Beispiel: [mm]\left(x^2-4\right) \ = \ x^2\cdot{}\left(1-\bruch{4}{x^2}\right)[/mm]
>
> Ich kann doch auch durch die höchste im Nenner vorkommende
> Potenz dividieren, ich soll ja untersuchen, was passiert
> wenn x gegen unendlich läuft, ob es einen Grenzwert gibt.
> Hier mein Ansatz:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{x³}(\bruch{1}{x²}-\bruch{4}{x^4})}{\bruch{1}{x^4}(1 - \bruch{9}{x^4})} = \bruch{0(0-0)}{0(1-0)} = 0[/mm]
>
> Die Funktion hat den Grenzwert g=0, oder ist dies der
> falsche Weg?
Entweder so, oder per d L'Hospital:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)}, [/mm] das geht aber nur dann, wenn f(x) und g(x) denselben Grenzwert haben, was hier allerdings der Fall ist.
>
> Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > b) [mm]\limes_{x\rightarrow 2}=\bruch{x²+5x-14}{x(x-2)(x-7)}[/mm],
> > wenn als oder der Nenner Null wird. Wie kann man diese
> > Funktion vereinfachen, wenn ich für x=2+h und x=2-h
> > einsetze komm ich auf keine Lösung?
>
> Wo hakt es denn genau. Wenn du für x=2+h einsetzt, misst du
> die Grenzwertbetrachtung für [mm]h\to0[/mm] machen.
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2}=\bruch{x²+5x-14}{x(x-2)(x-7)}$ [/mm] für x=2 +/- h
[mm] $f(2+h)=\bruch{(2+h)²+5(2+h)-14}{(2+h)(2+h-2)(2+h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{4+4h+h²+10+5h-14}{(2+h)(h)(h+5)} [/mm] = [mm] \bruch{9h+h²}{(2+h)(h²-5h)} [/mm] = [mm] \bruch{9h+h²}{2h²-10h+h³-5h} [/mm] = [mm] \bruch{9h+h²}{h³-3h²-10h}$
[/mm]
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{9h+h²}{h³-3h²-10h}) [/mm] = 0$
passt dies dann so? oder muss ich den nenner auf einem anderen weg auflösen?
> > c) Vom Pol spricht man doch wenn linksseitiger und
> > rechtsseitiger Grenzwert an der Lücke uneigentlich sind,
> > also +unendlich und -unendlich. Soll man dies berechnen?
> > Hierbei hab ich keinen Ansatz
> >
>
> Polstellen sind die nicht hebbaren Def.-Lücken. ALso musst
> du ausschliessen, dass die Lücke hebbar ist, wenn nicht,
> hast du eine Polstelle.
Also muss ich überprüfen, ob x=0, x=2 und x=7 Pole oder nicht sind? Man nehme an, 2b würde stimmen, dann wär dies ein Pol? Ich müsste dann alle anderen nur noch einsetzen wie oben, x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/- h?
> > 3. [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{x(x²-4)}{2(x^4-9)}[/mm]
>
> >
> > Hierbei habe ich schon Hilfe bekommen und zwar folgenden
> > Ansatz:
> >
> > > Bei Aufgabe c.) im Zähler [mm]x^2[/mm] ausklammern und im Nenner den
> > Term [mm]x^4[/mm] .
> > >
> > > Beispiel: [mm]\left(x^2-4\right) \ = \ x^2\cdot{}\left(1-\bruch{4}{x^2}\right)[/mm]
> >
> > Ich kann doch auch durch die höchste im Nenner vorkommende
> > Potenz dividieren, ich soll ja untersuchen, was passiert
> > wenn x gegen unendlich läuft, ob es einen Grenzwert gibt.
> > Hier mein Ansatz:
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}\bruch{\bruch{1}{x³}(\bruch{1}{x²}-\bruch{4}{x^4})}{\bruch{1}{x^4}(1 - \bruch{9}{x^4})} = \bruch{0(0-0)}{0(1-0)} = 0[/mm]
>
> >
> > Die Funktion hat den Grenzwert g=0, oder ist dies der
> > falsche Weg?
>
>
> Entweder so, oder per d L'Hospital:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{f'(x)}{g'(x)},[/mm]
> das geht aber nur dann, wenn f(x) und g(x) denselben
> Grenzwert haben, was hier allerdings der Fall ist.
> >
> > Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
Okay, wenn dies was ich oben gerechnet habe stimmt und g=0 ist.
[mm]\left(x^2-4\right) \ = \ x^2\cdot{}\left(1-\bruch{4}{x^2}\right)[/mm] / [mm]\left(x^4-9\right) \ = \ x^4\cdot{}\left(1-\bruch{9}{x^4}\right)[/mm]. somit wächst der nenner viel mehr als der zähler und es läuft auch gegen null. stimmt diese umformung so? wäre jemand so nett und könnte die komplette funktion hinschreiben? beim zweiten hab ich noch die 2 vergessen.
Mfg
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> [mm]f(2+h)=\bruch{(2+h)²+5(2+h)-14}{(2+h)(2+h-2)(2+h-7)} = \bruch{4+4h+h²+10+5h-14}{(2+h)(h)(h+5)} = \bruch{9h+h²}{(2+h)(h²-5h)} = \bruch{9h+h²}{2h²-10h+h³-5h} = \bruch{9h+h²}{h³-3h²-10h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 2} = \limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{9h+h²}{h³-3h²-10h}) = 0[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast hier doch einen unbestimmten ausadruck $\bruch70}{0}$ stehen für $h\rightarrow$ . Klammere in Zähler und Nenner den Term $h_$ aus und kürze.
Zudem könntest Du Dir diese gesamte Arbeit vereinfachen, wenn Du Deine Funktion zunächst umschreiben würdet zu:
$$f(x) \ = \ \bruch{x^2+5x-14}{x*(x-2)*(x-7)} \ = \ \bruch{\blue{(x-2)}*(x+7)}{x*\blue{(x-2)}*(x-7)} \ = \ \bruch{x+7}{x*(x-7)}$$
> Also muss ich überprüfen, ob x=0, x=2 und x=7 Pole oder
> nicht sind? Man nehme an, 2b würde stimmen, dann wär dies
> ein Pol? Ich müsste dann alle anderen nur noch einsetzen
> wie oben, x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/- h?
Ein Pol liegt vor, wenn diese Stelle Nullstelle des Nenners, jedoch nicht des Zählers ist.
Oder anders: ein Pol liegt vor, wenn bei der Grenzwertbetrachtung $\limes_{h\rightarrow 0}f(x_p\pm h)$ jeweils $\pm\infty$ als Grenzwert entsteht.
> somit wächst der nenner viel mehr als der zähler und es
> läuft auch gegen null. stimmt diese umformung so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > [mm]f(2+h)=\bruch{(2+h)²+5(2+h)-14}{(2+h)(2+h-2)(2+h-7)} = \bruch{4+4h+h²+10+5h-14}{(2+h)(h)(h+5)} = \bruch{9h+h²}{(2+h)(h²-5h)} = \bruch{9h+h²}{2h²-10h+h³-5h} = \bruch{9h+h²}{h³-3h²-10h}[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow 2} = \limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{9h+h²}{h³-3h²-10h}) = 0[/mm]
>
> Du hast hier doch einen unbestimmten ausadruck
> [mm]\bruch70}{0}[/mm] stehen für [mm]h\rightarrow[/mm] . Klammere in Zähler
> und Nenner den Term [mm]h_[/mm] aus und kürze.
>
> Zudem könntest Du Dir diese gesamte Arbeit vereinfachen,
> wenn Du Deine Funktion zunächst umschreiben würdet zu:
>
> [mm]f(x) \ = \ \bruch{x^2+5x-14}{x*(x-2)*(x-7)} \ = \ \bruch{\blue{(x-2)}*(x+7)}{x*\blue{(x-2)}*(x-7)} \ = \ \bruch{x+7}{x*(x-7)}[/mm]
okay wenn ich dies hernehme:
[mm] $f(2+h)=\bruch{x+7}{x(x-7)} [/mm] = [mm] \bruch{(2+h)+7}{(2+h)(2+h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{9+h}{(2+h)(h-5)} [/mm] = [mm] \bruch{9+h}{2h-10+h²-5h} [/mm] = [mm] \bruch{9+h}{h²-3h-10} [/mm] = [mm] \bruch{9+h}{h(h-3)-10}$, [/mm] wie geht es dann weiter? oder hab ich beim ausklammern von h einen fehler gemacht?
> > Also muss ich überprüfen, ob x=0, x=2 und x=7 Pole oder
> > nicht sind? Man nehme an, 2b würde stimmen, dann wär dies
> > ein Pol? Ich müsste dann alle anderen nur noch einsetzen
> > wie oben, x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/- h?
>
> Ein Pol liegt vor, wenn diese Stelle Nullstelle des
> Nenners, jedoch nicht des Zählers ist.
>
> Oder anders: ein Pol liegt vor, wenn bei der
> Grenzwertbetrachtung [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(x_p\pm h)[/mm]
> jeweils [mm]\pm\infty[/mm] als Grenzwert entsteht.
Somit muss ich für x gleich x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/- h einsetzen und schauen ob als Grenzwert +unendlich und -unendlich rauskommt? Gibt es da ein Schnellverfahren, ansonsten ist es sehr viel Schreibarbeit. Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
>
> > Zudem könntest Du Dir diese gesamte Arbeit vereinfachen,
> > wenn Du Deine Funktion zunächst umschreiben würdet zu:
> >
> > [mm]f(x) \ = \ \bruch{x^2+5x-14}{x*(x-2)*(x-7)} \ = \ \bruch{\blue{(x-2)}*(x+7)}{x*\blue{(x-2)}*(x-7)} \ = \ \bruch{x+7}{x*(x-7)}[/mm]
>
> okay wenn ich dies hernehme:
>
> [mm]f(2+h)=\bruch{x+7}{x(x-7)} = \bruch{(2+h)+7}{(2+h)(2+h-7)} = \bruch{9+h}{(2+h)(h-5)} = \bruch{9+h}{2h-10+h²-5h} = \bruch{9+h}{h²-3h-10} = \bruch{9+h}{h(h-3)-10}[/mm],
> wie geht es dann weiter?
Jetzt bestimmst Du den Grenzwert [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(2+h).
[/mm]
> > > Also muss ich überprüfen, ob x=0, x=2 und x=7 Pole oder
> > > nicht sind? Man nehme an, 2b würde stimmen, dann wär dies
> > > ein Pol? Ich müsste dann alle anderen nur noch einsetzen
> > > wie oben, x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/- h?
> >
> > Ein Pol liegt vor, wenn diese Stelle Nullstelle des
> > Nenners, jedoch nicht des Zählers ist.
> >
> > Oder anders: ein Pol liegt vor, wenn bei der
> > Grenzwertbetrachtung [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(x_p\pm h)[/mm]
> > jeweils [mm]\pm\infty[/mm] als Grenzwert entsteht.
>
> Somit muss ich für x gleich x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/-
> h einsetzen und schauen ob als Grenzwert +unendlich und
> -unendlich rauskommt?
Ja.
> Gibt es da ein Schnellverfahren,
Schneller wäre es schon oft bei deinen Grenzwertbetrachtungen gegangen, wenn Du vor dem blindlings Losschreiben mal prüfen würdest, ob man etwas kürzen kann. Wie z.B. bei der gerade betrachteten Aufgabe. Und nach dem Kürzen darf man oft Zahlen einsetzen, die man vorher nicht einsetzen durfte, wenn nämlich Nullstellen "weg"gekürzt wurden. Auch dies vereinfacht und beschleunigt immens.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> > [mm]f(2+h)=\bruch{x+7}{x(x-7)} = \bruch{(2+h)+7}{(2+h)(2+h-7)} = \bruch{9+h}{(2+h)(h-5)} = \bruch{9+h}{2h-10+h²-5h} = \bruch{9+h}{h²-3h-10} = \bruch{9+h}{h(h-3)-10}[/mm],
> > wie geht es dann weiter?
>
> Jetzt bestimmst Du den Grenzwert [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(2+h).[/mm]
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{9+h}{h(h-3)-10}) = -0,9[/mm]
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{9-h}{h(h+3)-10}) = -0,9[/mm]
dann müsste es nun stimmen? f(2)=-0,9
Mfg itse
|
|
|
| |
|
> > Jetzt bestimmst Du den Grenzwert [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(2+h).[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{9+h}{h(h-3)-10}) = -0,9[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}(\bruch{9-h}{h(h+3)-10}) = -0,9[/mm]
>
> dann müsste es nun stimmen? f(2)=-0,9
Ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > > > Also muss ich überprüfen, ob x=0, x=2 und x=7 Pole oder
> > > > nicht sind? Man nehme an, 2b würde stimmen, dann wär dies
> > > > ein Pol? Ich müsste dann alle anderen nur noch einsetzen
> > > > wie oben, x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/- h?
> > >
> > > Ein Pol liegt vor, wenn diese Stelle Nullstelle des
> > > Nenners, jedoch nicht des Zählers ist.
> > >
> > > Oder anders: ein Pol liegt vor, wenn bei der
> > > Grenzwertbetrachtung [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(x_p\pm h)[/mm]
> > > jeweils [mm]\pm\infty[/mm] als Grenzwert entsteht.
> >
> > Somit muss ich für x gleich x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/-
> > h einsetzen und schauen ob als Grenzwert +unendlich und
> > -unendlich rauskommt?
Die Definitionslücke bei x=2 hat sich schon herausgestellt kein Pol, g=-0,9. also nur noch x=0 und x=7
[mm] $f(0+h)=\bruch{0+h+7}{(0+h)(0+h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{7+h}{h(h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{7}{-7h}$
[/mm]
[mm] $\limes_{h \to 0}(\bruch{7}{-7h}) [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
[mm] $f(0-h)=\bruch{0-h+7}{(0-h)(0-h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{7-h}{-h(-h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{7}{7h}$
[/mm]
[mm] $\limes_{h \to 0}(\bruch{7}{7h}) [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
[mm] $f(7+h)=\bruch{7+h+7}{(7+h)(7+h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{14+h}{h(h+7)} [/mm] = [mm] \bruch{14}{7h}$
[/mm]
[mm] $\limes_{h \to 0}( \bruch{14}{7h}) [/mm] = [mm] +\infty$
[/mm]
[mm] $f(7-h)=\bruch{7-h+7}{(7-h)(7-h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{14-h}{-h(-h+7)} [/mm] = [mm] \bruch{14}{-7h}$
[/mm]
[mm] $\limes_{h \to 0}(\bruch{14}{-7h}) [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
somit sind x=0 und x=7 Pole, passt? Vielen Dank nochmals.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > > > > Also muss ich überprüfen, ob x=0, x=2 und x=7 Pole oder
> > > > > nicht sind? Man nehme an, 2b würde stimmen, dann wär dies
> > > > > ein Pol? Ich müsste dann alle anderen nur noch einsetzen
> > > > > wie oben, x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/- h?
> > > >
> > > > Ein Pol liegt vor, wenn diese Stelle Nullstelle des
> > > > Nenners, jedoch nicht des Zählers ist.
> > > >
> > > > Oder anders: ein Pol liegt vor, wenn bei der
> > > > Grenzwertbetrachtung [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(x_p\pm h)[/mm]
> > > > jeweils [mm]\pm\infty[/mm] als Grenzwert entsteht.
> > >
> > > Somit muss ich für x gleich x=0 +/- h, x=2 +/- h und 7 +/-
> > > h einsetzen und schauen ob als Grenzwert +unendlich und
> > > -unendlich rauskommt?
>
> Die Definitionslücke bei x=2 hat sich schon herausgestellt
> kein Pol, g=-0,9. also nur noch x=0 und x=7
>
> [mm]f(0+h)=\bruch{0+h+7}{(0+h)(0+h-7)} = \bruch{7+h}{h(h-7)} = \bruch{7}{-7h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h \to 0}(\bruch{7}{-7h}) = -\infty[/mm]
>
> [mm]f(0-h)=\bruch{0-h+7}{(0-h)(0-h-7)} = \bruch{7-h}{-h(-h-7)} = \bruch{7}{7h}[/mm]
>
> [mm]\limes_{h \to 0}(\bruch{7}{7h}) = +\infty[/mm]
>
Hallo,
ich will mal versuchen, Dir ein paar Dinge zu sagen, damit Du in Sachen Grenzwerte auf eigene Füße kommst, denn Du wirst nicht immer jemanden haben, der Deine Ergebnisse kontrollieren kann:
Du kannst Deine Ergebnisse alle am Graphen nachprüfen. Zeichne/plotte die Funktion, und guck, ob Deine Pole stimmen. Du siehst ganz deutlich, ob die Funktion z.B. rechts vom Pol gegen [mm] -\infty [/mm] geht.
Eine andere Möglichkeit.
Wenn Du jetzt ausgerechnet hast, daß der Grenzwert an der Stelle 7 von rechts [mm] -\infty [/mm] ist, kannst Du das testen, indem Du mal den Wert der Funktion ausrechnest an einer Stelle, die geringfügig über 7 liegt. Z.B. für x=7,0001. Wenn Du da eine sehr große negative Zahl herausbekommst, z.B. -5134, kannst Du ziemlich sicher sein, daß Du den Grenzwert richtig bestimmt hast.
Ein Rechenfehler, welcher sich ähnlich mehrfach wiederholt,ist mir aufgefallen:
$ [mm] f(0+h)=\bruch{0+h+7}{(0+h)(0+h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{7+h}{h(h-7)} [/mm] = [mm] \bruch{7}{-7h} [/mm] $
Es ist nicht h(h-7)=-7h
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich habe nun eine Lösung des Ganzen gefunden.
1a) ist richtig
b) es gibt keinen grenzwert, du meintest ja das es stimmt?
2a) ist richtig
b) es gibt keinen grenzwert
c) x=0 und x=7 keinen grenzwert, also mehr oder weniger richtig
3) ist richtig
|
|
|
| |
|
> 1a) ist richtig
> b) es gibt keinen grenzwert, du meintest ja das es
> stimmt?
Verstehe ich nicht. Du hattest doch einen Grenzwert ausgerechnet, -3.
>
> 2a) ist richtig
> b) es gibt keinen grenzwert
Auch diesen Grenzwert, den es sehr wohlgibt, hattest Du ausgerechnet, -0.9.
> c) x=0 und x=7 keinen grenzwert,
> also mehr oder weniger richtig
???
Gruß v. Angela
>
> 3) ist richtig
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
> > b) es gibt keinen grenzwert, du meintest ja das es
> > stimmt?
>
> Verstehe ich nicht. Du hattest doch einen Grenzwert
> ausgerechnet, -3.
> > b) es gibt keinen grenzwert
>
> Auch diesen Grenzwert, den es sehr wohlgibt, hattest Du
> ausgerechnet, -0.9.
wenn ich die beiden funktionen plotte, dann sehe ich dort auch keinen grenzwert mit den koordinaten. kannst du eventuell ein bild, oder wie du es auch immer überprüft hast hochladen?
mfg
itse
|
|
|
| |
|
Jetzt wollen wir ja mal hoffen, daß Du die richtigen Funktionen geplottet hast.
Die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x²-x-2}{x+1} [/mm] ist ja an der Stelle -1 nicht definiert.
Was siehst Du denn an der Stelle -1?
Berechnet hattest Du, daß sich der Grenzwert von rechts und von links hier dem Wert -3 nähert.
Also eine hebbare Definitionslücke.
So - was ist nun bei Deiner Funktion, die Du geplottet hast? Sieht das nicht so aus, als wäre der Funktionswert an der Stelle -1 die -3, wenn man die Definitionslücke stetig schließen wollte?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
Hallo,
hier die funktionen, du hattest recht. habe ein paar klammern vergessen. keine ahnung wer die lösung geschrieben hat, stimmen tut diese jedenfalls nicht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank, itse.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Fr 07.09.2007 | | Autor: | itse |
das mit dem zweiten bild hat irgendwie nicht funktioniert, also hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo,
das ist doch perfekt. Und es paßt prima zu dem, was Du gerechnet hast.
[mm] f(x)=(x^2-x-2)/(x+1) [/mm] ist an der Stelle -1 nicht definiert, weil ja sonst der Nenner =0 würde.
Du hattest aber ja ausgerechnet, daß lim f(-1+h)=-3 und lim f(-1-h)=-3, also eine hebbare Definitionslücke,
denn rechter Grenzwert = linker Grenzwert, also existiert [mm] \limes_{x\rightarrow -1}f(x), [/mm] und der Wert dieses Grenzwertes ist [mm] \limes_{x\rightarrow -1}f(x)=3.
[/mm]
Und der Graph sieht doch auch ganz danach aus, daß es sinnvoll ist, sofern man die Stelle x=0 definieren möchte, dieser den Funktionswert f(-1)=3 zuzuweisen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> hier die funktionen, du hattest recht. habe ein paar
> klammern vergessen. keine ahnung wer die lösung geschrieben
> hat, stimmen tut diese jedenfalls nicht.
Natürlich stimmt sie.
Du hattest eine Polstelle bei x=0,
den Grenzwert -0.9 an der Stelle -2,
und eine Polstelle bei 7.
Daß Du die nicht siehst, ist kein Wunder, wenn Du Dein Koordinatensystem bei 6 enden läßt.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
