Grenzwert gebrochen rationale < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Skizzieren Sie das Bild der gebrochen rationalen Funktionen y = f(x) mit Hilfe der Achsenschnittpunkte, Pole, Lücken und des Verhaltens im Unendlichen!
[mm] f(x)=\bruch{(x+3)x}{(x+1)(x-4)x} [/mm] |
Hallo,
hänge bei der Untersuchung der Polstellen fest.
Bisherige Ergebnisse:
- Zähker-Nst. [mm] x_{0}=-3 [/mm] -> Schnittpunkt Funktion mit x-Achse, kein Schnittpunkt mit y-Achse
- (hebbare) Lücke bei [mm] (0;-\bruch{3}{4})
[/mm]
- Polstellen [mm] x_{1}=-1, x_{2}=4
[/mm]
Polstellenuntersuchung:
[mm] x_{1}=-1: \limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)}
[/mm]
alternative Schreibweise
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1+h}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)}
[/mm]
Und hier komme ich nicht weiter. Mein Ansatz:
x=-1+h [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(-1+h+3)}{(-1+h+1)(-1+h-4)}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(h+2)}{h(h-5)}
[/mm]
Ich könnte ein h im Zähler ausklammern, mit dem Nenner kürzen [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h(1+\bruch{2}{h})}{h(h-5)}, [/mm] da h gegen 0 geht, erhalte ich [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{1}{h-5}, [/mm] somit wäre der Grenzwert [mm] -\bruch{1}{5}
[/mm]
Irgendwie hab ich da rechentechnisch mit dem Grenzwert und der "h-Methode" einen Denkfehler. Könnte mir das jemand anhand obiger Aufgabe erklären bzw. mir den Fehler aufzeigen.
|
|
| |
|
> Skizzieren Sie das Bild der gebrochen rationalen Funktionen
> y = f(x) mit Hilfe der Achsenschnittpunkte, Pole, Lücken
> und des Verhaltens im Unendlichen!
>
> [mm]f(x)=\bruch{(x+3)x}{(x+1)(x-4)x}[/mm]
> Hallo,
>
> hänge bei der Untersuchung der Polstellen fest.
>
> Bisherige Ergebnisse:
hallo,
du fängst eigentlich erst mit dem def- und wertebereich an, dann versuchst du hebbare lücken zu finden. danach machst du mit dieser "neuen" funktion die diskussion.
>
> - Zähker-Nst. [mm]x_{0}=-3[/mm] -> Schnittpunkt Funktion mit
> x-Achse, kein Schnittpunkt mit y-Achse
die hebbare lücke verursacht doch einen schnittpunkt mit der y-achse
> - (hebbare) Lücke bei [mm](0;-\bruch{3}{4})[/mm]
> - Polstellen [mm]x_{1}=-1, x_{2}=4[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Polstellenuntersuchung:
>
> [mm]x_{1}=-1: \limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)}[/mm]
>
> alternative Schreibweise
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1+h}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)}[/mm]
>
> Und hier komme ich nicht weiter. Mein Ansatz:
>
> x=-1+h [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(-1+h+3)}{(-1+h+1)(-1+h-4)}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{(h+2)}{h(h-5)}[/mm]
>
> Ich könnte ein h im Zähler ausklammern, mit dem Nenner
> kürzen [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{h(1+\bruch{2}{h})}{h(h-5)},[/mm]
> da h gegen 0 geht, erhalte ich [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{1}{h-5},[/mm]
> somit wäre der Grenzwert [mm]-\bruch{1}{5}[/mm]
was tust du hier? du schreibst oben, dass du eine polstelle bei -1 hast, und wunderst dich dann nicht, dass du keinen grenzwert von [mm] \pm\infty [/mm] erhälst?!
du musst doch nur den links- und rechtsseitigen grenzwert an der stelle untersuchen, um zu sagen ob es links von der polstelle eine positive oder negative steigung gibt
>
> Irgendwie hab ich da rechentechnisch mit dem Grenzwert und
> der "h-Methode" einen Denkfehler. Könnte mir das jemand
> anhand obiger Aufgabe erklären bzw. mir den Fehler
> aufzeigen.
>
>
>
gruß tee
|
|
|
| |
|
Hallo tee,
natürlich wundere ich mich, deswegen ist der von mir berechnete GW von [mm] -\bruch{1}{5} [/mm] auch Unsinn, deswegen ja auch mein Post. Meine Frage ist die, kann ich denn rechentechnisch zeigen, dass die Funktion an den Polstellen gegen [mm] \pm \infty [/mm] läuft? Dieses eben über den GW an den Stellen. Nur wie?
|
|
|
| |
|
> Hallo tee,
>
> natürlich wundere ich mich, deswegen ist der von mir
> berechnete GW von [mm]-\bruch{1}{5}[/mm] auch Unsinn, deswegen ja
> auch mein Post. Meine Frage ist die, kann ich denn
> rechentechnisch zeigen, dass die Funktion an den Polstellen
> gegen [mm]\pm \infty[/mm] läuft? Dieses eben über den GW an den
> Stellen. Nur wie?
achso, dann ist die frage nicht so ganz klar gewesen 
also du hattest ja $ [mm] x_{1}=-1: \limes_{x\rightarrow\ -1}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)} [/mm] $
gehst du nun von links an die polstelle ran:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^-}\bruch{\overbrace{(x+3)}^{>0}}{\underbrace{(x+1)}_{-0}\underbrace{(x-4)}_{<0}}=\infty
[/mm]
und rechts davon
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1^+}\bruch{\overbrace{(x+3)}^{>0}}{\underbrace{(x+1)}_{+0}\underbrace{(x-4)}_{<0}}=-\infty
[/mm]
du musst also nur schauen, welches vorzeichen der quotient erhält, bevor du "durch 0 teilst"
gruß tee
|
|
|
| |
|
Hallo tee,
vielleicht war es auch mein Fehler, indem ich meine Frage nicht konkret formuliert habe. Ich glaube, ich habe den GW rechnerisch falsch angewendet bzw. einfach falsch interpretiert. Habe einfach "brutal" die jeweiligen Grenzen eingesetzt und kam daher auf kein "vernünftiges" Ergebnis.
[mm] x_{1}=1: \limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)}=\limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{(-1+0+3)}{(-1+0+1)(-1+0-4)}=\bruch{2}{0(-5)} [/mm] und mit dem letzten Ausdruck wird der Nenner 0.
Der Grenzwert nähert sich aber der 0 an, wird aber nie 0 und das ist/war mein Fehler.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)}=\limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{-1+0,000...1+3}{(-1+0,000...1+1)(-1+0,000...1-4)}=\bruch{(2,000...1)}{0,000...1(-5,000...1)} [/mm] -
der Nenner wird hier immer größer und in dem Fall sogar negativ -> [mm] \limes_{x\rightarrow\ -1+0}f(x)=-\infty
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
> vielleicht war es auch mein Fehler, indem ich meine Frage
> nicht konkret formuliert habe. Ich glaube, ich habe den GW
> rechnerisch falsch angewendet bzw. einfach falsch
> interpretiert. Habe einfach "brutal" die jeweiligen Grenzen
> eingesetzt und kam daher auf kein "vernünftiges" Ergebnis.
Wenn man das könnte, bräuchte man keine Grenzwertbetrachtung. Die führt man doch gerade an solchen Stellen durch, wo der Funktionswert nicht definiert ist
> [mm]x_{1}=1: \limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)}=\limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{(-1+0+3)}{(-1+0+1)(-1+0-4)}=\bruch{2}{0(-5)}[/mm]
> und mit dem letzten Ausdruck wird der Nenner 0.
>
> Der Grenzwert nähert sich aber der 0 an, wird aber nie 0
> und das ist/war mein Fehler.
Ja, gut erkannt.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{(x+3)}{(x+1)(x-4)}=\limes_{x\rightarrow\ -1+0}\bruch{-1+0,000...1+3}{(-1+0,000...1+1)(-1+0,000...1-4)}=\bruch{(2,000...1)}{0,000...1(-5,000...1)}[/mm]
> -
>
> der Nenner wird hier immer größer und in dem Fall sogar
> negativ -> [mm]\limes_{x\rightarrow\ -1+0}f(x)=-\infty[/mm]
Das ist faktisch die "h-Methode", die Du in Deinem ersten Post erwähnst. Man setzt das h ein und überlegt sich, was mit dem zu untersuchenden Term geschieht, wenn das h "sich der Null nähert" - und das eben auch noch einmal auf der positiven Seite und einmal auf der negativen. Die beiden Grenzwerte müssen ja nicht gleich sind (und sind es hier auch nicht).
Das gleiche musst Du an der Stelle x=4 auch noch machen; das Ergebnis wird dort genau umgekehrt sein. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Mi 07.09.2011 | | Autor: | Hoffmann79 |
Vielen Dank allen Beteiligten
|
|
|
|
