Grenzwert f(x) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:46 Do 15.01.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{\sqrt{1+\cos(x)}}{x-\pi} [/mm] |
Also zunächst habe ich einmal L'Hospital/Bernoulli angewandt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{\sqrt{1+\cos(x)}}{x-\pi}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{-\sin(x)}{2*\sqrt{1+\cos(x)}}
[/mm]
Jetzt mit [mm] \sqrt{1-\cos(x)} [/mm] erweitert:
[mm] =\limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{-\sin(x)*\sqrt{1-\cos(x)}}{2*\sqrt{(1+\cos(x))*(1-\cos(x))}}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{-\sin(x)*\sqrt{1-\cos(x)}}{2*\sqrt{1-\cos^2(x)}}
[/mm]
[mm] \sqrt{1-\cos^2(x)}=\pm \sin(x) [/mm] eingesetzt
[mm] =\limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{-\sin(x)*\sqrt{1-\cos(x)}}{2*\pm \sin(x)}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\pi}\bruch{\mp\sqrt{1-\cos(x)}}{2}
[/mm]
[mm] =\mp \bruch{\sqrt{2}}{2}
[/mm]
Jetzt bin ich der Meinung, dass der Fall - irgendwie wegfallen müsste nur weis ich nicht warum und finde auch nicht raus wo bzw. sehe keine Begründung...
Was habe ich falsch gemacht?
Danke und Gruß,
tedd 
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Ich habe deine Rechnung nicht überprüft, aber das Ergebnis stimmt. Insbesondere hängt das Vorzeichen davon ab, ob du dich von unten oder von oben an [mm]\pi[/mm] annäherst.
Ich würde die Rechnung anders durchführen. Man braucht nämlich nichts Weiteres als die Kenntnis von
[mm]\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1[/mm]
Das dürfte aber bekannt sein. Und dann geht es mit elementaren Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen. Mit der Substitution [mm]t = x - \pi[/mm] wird der Grenzübergang [mm]x \to \pi[/mm] auf den mit [mm]t \to 0[/mm] zurückgeführt. Und den Erweiterungstrick machen wir gleich zu Beginn:
[mm]\frac{\sqrt{1 + \cos x}}{x - \pi} = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 x}}{\sqrt{1 - \cos x} \cdot (x - \pi)} = \frac{| \sin x|}{x - \pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \cos x}}[/mm]
[mm]= \frac{|\sin (t + \pi)|}{t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \cos (t + \pi)}} = \frac{|\sin t|}{t} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+ \cos t}}[/mm]
Und für [mm]x \to \pi - 0[/mm] strebt das gegen [mm]- \frac{1}{\sqrt{2}}[/mm], für [mm]x \to \pi + 0[/mm] dagegen gegen [mm]\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm].
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