Grenzwert einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Sa 31.05.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} [/mm] |
Mit dem Wurzelkriterium habe ich gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Nun soll ich aber den genauen Wert, gegen den die Reihe konvergiert angeben (=1).
Ich steh grad aufm Schlauch ... ich bitte um einen Ansatz :)
Besten Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bigalow und ganz herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Berechnen Sie folgende Reihe:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}[/mm]
> Mit dem
> Wurzelkriterium habe ich gezeigt, dass die Reihe
> konvergiert. Nun soll ich aber den genauen Wert, gegen den
> die Reihe konvergiert angeben (=1).
>
> Ich steh grad aufm Schlauch ... ich bitte um einen Ansatz
> :)
Vllt. macht's klick, wenn ich die Reihe mal ein klein wenig anders schreibe...
[mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$
[/mm]
Kommt dir das bekannt vor? [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=...$ [/mm] für $|q|<1$
Beachte aber, dass deine Reihe nicht bei $n=0$, sondern bei $n=1$ losgeht, du musst also beim GW noch den Summanden für $n=0$, also [mm] $\frac{1}{2^0}=1$ [/mm] abziehen ...
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> Besten Dank im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Sa 31.05.2008 | | Autor: | bigalow |
Ah danke... die geometrische Reihe also. Damit ist der Grenzwert wenn man die Reihe ab n=0 laufen lässt [mm] \frac{1}{1-q}=\frac{1}{0,5}=2 [/mm] und dann zieh ich für meine Reihe noch das erste Folgenglied ab um bei n=1 zu beginnen und komme auf den Grenzwert 1. Danke sehr! :D
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