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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Grenzwert einer Funktion zweier Variablen
Grenzwert einer Funktion zweier Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert einer Funktion zweier Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 So 20.06.2004
Autor: Evi

Hallo an alle!
Ich hoffe, ihr könnt mir bei meinem kleinen Problem helfen. Die Aufgabe ist sichrlich nicht schwer, jedoch kann ich mit ihr absolut nicht umgehen. [keineahnung]

[mm] \limes_{(x,y) \to \(0,0)}sin(x^2*sin(y))/(x^2*y) [/mm]

Es wäre auch sehr schön, wenn ihr mir mehr von solchen Aufgaben (am bessten natürlich mit Lösungen) geben würdet, damit ich ein bisschen üben kann.

MFG, Evi.

        
Bezug
Grenzwert einer Funktion zweier Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Mo 21.06.2004
Autor: Paulus

Hallo Evi

> Hallo an alle!
>  Ich hoffe, ihr könnt mir bei meinem kleinen Problem
> helfen. Die Aufgabe ist sichrlich nicht schwer, jedoch kann
> ich mit ihr absolut nicht umgehen. [keineahnung]
>  
> [mm]\limes_{(x,y) \to \(0,0)}sin(x^2*sin(y))/(x^2*y) [/mm]

Mit dem Standardverfahren, auf der x-y-Ebene auf einer Kurve/Linie gegen $(0,0)$ zu schreiten, gibt das eine immense Rechnerei.

Ich bin nicht ganz sicher (das steht aber sicherlich in deinem Vorlesungsskript), ob man so argumentieren darf:

[mm] $\limes_{y \to 0} \sin [/mm] y = y$
womit sich der Ausdruck umformen liesse zu  
[mm] $\limes_{(x,y) \to (0,0)}\sin(x^2*sin(y))/(x^2*y) [/mm] = [mm] \limes_{(x,y) \to (0,0)}\sin(x^2*y)/(x^2*y)$ [/mm]

Und dann nach De l'Hôpital

[mm] $\limes_{f \to 0}\bruch{sin(f)}{f}=\limes_{f \to 0}\bruch{f'*\cos f}{f'}=\limes_{f \to 0}\cos [/mm] f = 1$

Kannst du oder jemand anderes aus dem Matheforum die Korrektheit dieser Argumentation überprüfen? Rein intuitiv wäre ich dafür, aber Intuition ist leider kein Beweis! :-)

Mit lieben Grüssen

Bezug
                
Bezug
Grenzwert einer Funktion zweier Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:22 Mo 21.06.2004
Autor: Stefan

Lieber Paul!

So wollte ich eigentlich auch zuerst argumentieren, aber ich glaube nicht, dass man das so darf. Jedenfalls sehe ich keine Berechtigungsgrundlage dafür.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
        
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Grenzwert einer Funktion zweier Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:11 Mo 21.06.2004
Autor: Julius

Hallo!

Also, Pauls Intuition war doch völlig richtig. Der allzu kritische Stefan hätte sich da mal nicht so blöd anstellen sollen. (Er verzeiht mir das sicherlich. ;-))

Allseits bekannt ist die Aussage (Beweis mit de l'Hospital, siehe Paul), dass für die Funktion

$f : [mm] \begin{array}{ccc} \IR & \to & \IR \\[5pt] x & \mapsto & \frac{\sin(x)}{x} \end{array}$ [/mm]

gilt:

[mm] $\lim\limits_{x \to 0} [/mm] f(x) = 1$.

Nun sind aber die Funktionen

$g : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^2 & \to & \IR \\[5pt] (x,y) & \mapsto & x \cdot y \end{array}$ [/mm]

und

$h : [mm] \begin{array}{ccc} \IR^2 & \to& \IR^2 \\[5pt] (x,y) & \mapsto & (x^2, \sin(y)) \end{array}$ [/mm]

stetig und es gilt: $h((0,0))=(0,0)$ sowie $g((0,0))=0$.

Daraus folgt:

[mm] $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{sin(x^2 \sin(y))}{x^2 \sin(y)} [/mm] = [mm] \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} [/mm] (f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] h)(x,y) = 1$.

Wegen [mm] $\lim\limits_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y}=1$ [/mm] folgt nun:

[mm] $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{sin(x^2 \sin(y))}{x^2 y} [/mm] =  [mm] \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{sin(x^2 \sin(y))}{x^2 \sin(y)} \cdot \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(y)}{y}=1$. [/mm]

Liebe Grüße
Julius




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Grenzwert einer Funktion zweier Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:38 Mo 21.06.2004
Autor: Paulus

Hallo Julius

vielen Dank für meine Rehabilitation! :-)

Vielleicht kannst du mal mit Stefan ein ernstes Wörtchen reden?! ;-)

Liebe Grüsse

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Grenzwert einer Funktion zweier Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Mo 21.06.2004
Autor: Evi

Hallo an alle.
Zuerst vielen Dank für eure Hilfe! Also ich glaube nicht, dass man hier die Regel von Hospital anwenden darf, denn in meinem Skript steht es nicht.
Es gelten Cauchykriterium, Folgenkriterium und die Limesgesetze (a*,+,+,+,/). Sonst hätte ich es ja auch angewandt. Also seid ihr euch wirklich GANZ SICHER, dass man die Regel von Hospital hier benutzen darf?
MFG, Evi.

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Grenzwert einer Funktion zweier Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mo 21.06.2004
Autor: Julius

Liebe Evi!

Naja, du kannst die Beziehung

(*) [mm] $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} [/mm] = 1$

auch anders als über de l'Hospital einsehen, zum Beispiel über die Taylor-Approximation (was letztendlich das Gleiche ist).

Vielleicht ist dir ja (*) auch so aus der Vorlesung bekannt? Oder es gehört zum Allgemeinwissen, was man verwenden darf? Das können wir von hier aus nicht beurteilen. Letztendlich ist das deine Ermessenssache - und die deines Tutors... [grins]

Also glaube an uns... aber: Ohne Gewähr! [vertrag]

Liebe Grüße ;-)
Julius

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