Grenzwert einer Folge beweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Fr 14.11.2014 | | Autor: | exos |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3n^2}{n^2+100n+7} [/mm] = 3
mit Hilfe der Definition der Konvergenz der Vorlesung. |
Hallo allerseits,
ich habe versucht, diesen Grenzwert aufzuzeigen, hocke jetzt aber in der Falle und komme nicht weiter.
Ich habe [mm] |x_{n} [/mm] - 3| < [mm] \varepsilon [/mm] gesetzt. Nach der Berechnung steht dann noch:
[mm] |\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt betrachte ich den Minusfall, da n [mm] \in \IN. [/mm] Danach fliegt meine Rechnung allerdings auseinander, weil ich mehrere [mm] \varepsilon [/mm] drin habe und nicht weiter weiß.
Ich bin vollkommen ratlos. Binome kommen, glaube ich, nicht in Frage. Könnt Ihr mir helfen?
Viele Grüße,
Exos
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zeigen Sie:
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3n^2}{n^2+100n+7}[/mm] = 3
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> mit Hilfe der Definition der Konvergenz der Vorlesung.
> Hallo allerseits,
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> ich habe versucht, diesen Grenzwert aufzuzeigen, hocke
> jetzt aber in der Falle und komme nicht weiter.
>
> Ich habe [mm]|x_{n}[/mm] - 3| < [mm]\varepsilon[/mm] gesetzt. Nach der
> Berechnung steht dann noch:
>
> [mm]|\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt betrachte ich den Minusfall, da n [mm]\in \IN.[/mm] Danach
> fliegt meine Rechnung allerdings auseinander, weil ich
> mehrere [mm]\varepsilon[/mm] drin habe und nicht weiter weiß.
> Ich bin vollkommen ratlos. Binome kommen, glaube ich,
> nicht in Frage. Könnt Ihr mir helfen?
Sieh dir den Satz aus deiner Vorlesung nochmal genau an. Ziel ist es ein N zu finden, bei dem die Folge für alle n>N konvergiert.
Dazu musst du deine Folge nun nach oben hin abschätzen.
Ich mache dir mal die ersten beiden Schritte vor:
[mm]|\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}| \leq |\frac{300n+21}{n^2+100n+7}| \leq |\frac{300n+21}{n^2}|\leq ......[/mm]
Jetzt musst du noch den Zähler geeignet nach oben abschätzen.
Am Ende brauchst du etwas in der Form:
[mm] $\frac{Zahl}{n}\leq \epsilon$
[/mm]
Valerie
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Fr 14.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Zeigen Sie:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3n^2}{n^2+100n+7}[/mm] = 3
> >
> > mit Hilfe der Definition der Konvergenz der Vorlesung.
> > Hallo allerseits,
> >
> > ich habe versucht, diesen Grenzwert aufzuzeigen, hocke
> > jetzt aber in der Falle und komme nicht weiter.
> >
> > Ich habe [mm]|x_{n}[/mm] - 3| < [mm]\varepsilon[/mm] gesetzt. Nach der
> > Berechnung steht dann noch:
> >
> > [mm]|\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
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> >
> > Jetzt betrachte ich den Minusfall, da n [mm]\in \IN.[/mm] Danach
> > fliegt meine Rechnung allerdings auseinander, weil ich
> > mehrere [mm]\varepsilon[/mm] drin habe und nicht weiter weiß.
> > Ich bin vollkommen ratlos. Binome kommen, glaube ich,
> > nicht in Frage. Könnt Ihr mir helfen?
>
> Sieh dir den Satz aus deiner Vorlesung nochmal genau an.
Welchen Satz ?? Ich denke, Du meinst die Definition der Konvergenz .
> Ziel ist es ein N zu finden, bei dem die Folge für alle
> n>N konvergiert.
Mit Verlaub, aber das ist Unfug !
Ziel ist es, ein N zu finden mit
$ [mm] |\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle n mit n>N.
FRED
>
> Dazu musst du deine Folge nun nach oben hin abschätzen.
> Ich mache dir mal die ersten beiden Schritte vor:
>
> [mm]|\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}| \leq |\frac{300n+21}{n^2+100n+7}| \leq |\frac{300n+21}{n^2}|\leq ......[/mm]
>
> Jetzt musst du noch den Zähler geeignet nach oben
> abschätzen.
> Am Ende brauchst du etwas in der Form:
>
> [mm]\frac{Zahl}{n}\leq \epsilon[/mm]
>
> Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Fr 14.11.2014 | | Autor: | exos |
Danke fuer die Hilfe. Jetzt bin ich ein bisschen weiter, aber zur Loesung komm ich nicht.
Weiterrechnen hat aus ergeben:
[mm] |\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}|
[/mm]
Betrachte nur den Minusfall:
[mm] \frac{300n+21}{n^2+100n+7} [/mm] < [mm] \frac{300n+21}{n^2} \le \frac{321n}{n^2} \le \frac{321}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also waehle ich mein N folgendermassen:
N > [mm] \frac{321}{\varepsilon}
[/mm]
Ein so gesetztes N fuehrt bei mir aber nicht zum Ziel. Ich kriege irgendwann nur raus:
[mm] \frac{300n+21}{n^2+100n+7} [/mm] < [mm] \frac{-96300\varepsilon - 21\varepsilon^2}{103041+32100\varepsilon + 7\varepsilon^2}
[/mm]
Da lieg ich doch meilenweit daneben, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Fr 14.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke fuer die Hilfe. Jetzt bin ich ein bisschen weiter,
> aber zur Loesung komm ich nicht.
>
> Weiterrechnen hat aus ergeben:
> [mm]|\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}|[/mm]
>
> Betrachte nur den Minusfall:
Hä ? Minusfall ? was soll denn das sein ?
Es ist [mm]|\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}|=\frac{300n+21}{n^2+100n+7}[/mm]
>
> [mm]\frac{300n+21}{n^2+100n+7}[/mm] < [mm]\frac{300n+21}{n^2} \le \frac{321n}{n^2} \le \frac{321}{n}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Also waehle ich mein N folgendermassen:
>
> N > [mm]\frac{321}{\varepsilon}[/mm]
Ja, prima !
>
> Ein so gesetztes N fuehrt bei mir aber nicht zum Ziel. Ich
> kriege irgendwann nur raus:
>
> [mm]\frac{300n+21}{n^2+100n+7}[/mm] < [mm]\frac{-96300\varepsilon - 21\varepsilon^2}{103041+32100\varepsilon + 7\varepsilon^2}[/mm]
Was soll das ?
Ist N > [mm]\frac{321}{\varepsilon}[/mm], so gilt:
$ [mm] |\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ für jedes n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] N.
Fertig !
>
>
> Da lieg ich doch meilenweit daneben, oder?
Nein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Fr 14.11.2014 | | Autor: | exos |
Ach, ich dachte, ich sei noch gar nicht fertig zu diesem Zeitpunkt.
Danke für die Hilfestellung!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke fuer die Hilfe. Jetzt bin ich ein bisschen weiter,
> aber zur Loesung komm ich nicht.
>
> Weiterrechnen hat aus ergeben:
> [mm]|\frac{-300n-21}{n^2+100n+7}|[/mm]
>
> Betrachte nur den Minusfall:
>
> [mm]\frac{300n+21}{n^2+100n+7}[/mm] < [mm]\frac{300n+21}{n^2} \le \frac{321n}{n^2} \le \frac{321}{n}[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Also waehle ich mein N folgendermassen:
>
> N > [mm]\frac{321}{\varepsilon}[/mm]
>
> Ein so gesetztes N fuehrt bei mir aber nicht zum Ziel. Ich
> kriege irgendwann nur raus:
>
> [mm]\frac{300n+21}{n^2+100n+7}[/mm] < [mm]\frac{-96300\varepsilon - 21\varepsilon^2}{103041+32100\varepsilon + 7\varepsilon^2}[/mm]
rechts steht was negatives, links was positives!
>
>
> Da lieg ich doch meilenweit daneben, oder?
Was machst Du denn da? Einmal hast Du wohl
[mm] $n=321*\varepsilon$
[/mm]
benutzt (300*321=96300). Aber ansonsten?
Natürlich kannst Du hingehen und sagen
Es sei
[mm] $N:=\left\lfloor 321/\varepsilon\right\rfloor+1\,,$
[/mm]
dann ist [mm] $N\,$ [/mm] das kleinste natürliche [mm] $M\,$ [/mm] mit $M > [mm] 321/\varepsilon\,.$
[/mm]
Ich nehme an, dass Du dahingehend irgendeinen Gedankengang verfolgen
wolltest. Beachte aber: Du musst ein N aus der [mm] $\varepsilon$-$N_\varepsilon$-Definition
[/mm]
nicht immer konkret angeben, nur die Existenz eines geeigneten muss begründet
werden (eine konkrete Angabe, wenn sie denn das erfüllt, was erfüllt werden
soll, ist natürlich dann ein Existenzbeweis in einem).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Fr 14.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3n^2}{n^2+100n+7}[/mm] = 3
die Standardmethode kennt man doch vielleicht sogar noch aus der Schule:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3n^2}{n^2+100n+7}=\limes_{n\rightarrow\infty}\left( \frac{n^2}{n^2}*\frac{3}{1+100/n+7/n^2}\right)=\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{3}{1+100/n+7/n^2}$
[/mm]
Mit ein paar weiteren Rechenschritten, wobei Rechenregeln für konvergente
Folgen eingesetzt werden, folgt dann, dass der gesuchte Limes =3 ist.
Warum also nicht mit
[mm] $\left| \frac{3n^2}{n^2+100n+7}-3\right|=\left| \frac{3}{1+100/n+7/n^2}-3\right|=\left|\frac{3-(3+300/n+700/n^2)}{1+100/n+7/n^2}\right|$
[/mm]
argumentieren?
Es ist
[mm] $\left| \frac{3}{1+100/n+7/n^2}-3\right|=\left|\frac{3-(3+300/n+700/n^2)}{1+100/n+7/n^2}\right| \le \frac{300}{n}+\frac{700}{n^2} \le 1000*\frac{1}{n}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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