Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Mi 23.10.2013 | | Autor: | melodie |
ich habe folgende Folge und muss den Grenzwert ausrechnen ( falls existent):
[mm] a_n [/mm] = n*(1- [mm] \wurzel{1-\bruch{1}{n}}*\wurzel{1-\bruch{3}{n}})
[/mm]
für n gegen unendlich bekomme ich unendlich raus, also existiert der Grenzwert nicht.
gebe ich das ganze bei Wolfram-Alpha ein wird der Grenzwert 2 ausgegeben, allerding ist der Lösungsweg sehr lang...
was stimmt den nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Mi 23.10.2013 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du Deine Rechnung nicht zeigst, kann man natürlich schlecht einen Fehler finden.
Zur Konvergenz: es bietet sich an, eine Folge anzugeben, die in jedem Folgeglied größer ist als die gegebene. Wenn die Majorante konvergiert, dann auch die gegeben Folge, da alle Folgeglieder größer als Null sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mi 23.10.2013 | | Autor: | melodie |
> Wenn Du Deine Rechnung nicht zeigst, kann man natürlich
> schlecht einen Fehler finden.
> Zur Konvergenz: es bietet sich an, eine Folge anzugeben,
> die in jedem Folgeglied größer ist als die gegebene. Wenn
> die Majorante konvergiert, dann auch die gegeben Folge, da
> alle Folgeglieder größer als Null sind.
n ( 1 - [mm] \wurzel{1-\bruch{1}{n}}\cdot{}\wurzel{1-\bruch{3}{n}} [/mm] )
spalte n auf in [mm] \wurzel{n}*\wurzel{n}
[/mm]
und löse die klammer auf
n - [mm] \wurzel{n}* \wurzel{1-\bruch{1}{n}} *\wurzel{n}* \wurzel{1-\bruch{3}{n}} [/mm]
= n - [mm] \wurzel{n - 1}*\wurzel{n - 3}
[/mm]
= n - [mm] \wurzel{n^2 -4n +3}
[/mm]
für n gegen unendlich divergiert die Folge und ist n groß genug dann ändert die wurzel nichts an der Divergenz, also existiert kein Grenzwert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo melodie!
> n ( 1 -[mm]\wurzel{1-\bruch{1}{n}}\cdot{}\wurzel{1-\bruch{3}{n}}[/mm] )
>
> spalte n auf in [mm]\wurzel{n}*\wurzel{n}[/mm]
>
> und löse die klammer auf
>
> n - [mm]\wurzel{n}* \wurzel{1-\bruch{1}{n}} *\wurzel{n}* \wurzel{1-\bruch{3}{n}}[/mm]
>
> = n - [mm]\wurzel{n - 1}*\wurzel{n - 3}[/mm]
>
> = n - [mm]\wurzel{n^2 -4n +3}[/mm]
Diese Umformung ist durchaus korrekt, bringt aber leider nicht allzuviel.
Hier könnte man nun den Term mit [mm] $\left( \ n \ \red{+} \ \wurzel{n^2-4n+3} \ \right)$ [/mm] erweitern.
Anschließend (nach etwas Umformen und Zusammenfassen) brauchst Du dann aber wieder am Besten die faktorisierte Form aus der ursprünglichen Aufgabenstellung.
Daher viel besser wie weiter unten bereits angedeutet:
erweitere den Ausgangsterm mit [mm] $n*\left(1 \ \red{+} \ \wurzel{1-\bruch{1}{n}}*\wurzel{1-\bruch{3}{n}} \ \right)$ [/mm] oder zumindest mit [mm] $\left(1 \ \red{+} \ \wurzel{1-\bruch{1}{n}}*\wurzel{1-\bruch{3}{n}} \ \right)$ [/mm] und fasse zusammen.
> für n gegen unendlich divergiert die Folge und ist n groß
> genug dann ändert die wurzel nichts an der Divergenz, also
> existiert kein Grenzwert
Das stimmt nicht, wie Du bereits der (korrekten) Wolfram-Lösung entnehmen kannst.
Du hast hier einen unbestimmten Ausdruck der Form " [mm] $\infty-\infty$ [/mm] ", über den man keine pauschalen Aussagen treffen kann.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mi 23.10.2013 | | Autor: | abakus |
> ich habe folgende Folge und muss den Grenzwert ausrechnen (
> falls existent):
>
> [mm]a_n[/mm] = n*(1-
> [mm]\wurzel{1-\bruch{1}{n}}*\wurzel{1-\bruch{3}{n}})[/mm]
>
>
> für n gegen unendlich bekomme ich unendlich
> raus,
Wieso das?
Es geht zwar n gegen unendlich, aber der zweite Faktor (die Klammer) geht gegen Null.
Wenn du das Prpdukt ausmultiplizierst (und durch die Zerlegung von n in [mm]\sqrt{n}*\sqrt{n}[/mm] jeder der beiden Wurzeln etwas davon abgibst) erhältst du
[mm]a_n=n-\sqrt{(n-1)(n-3)}[/mm]
Diesen Term solltest du mit [mm]n+\sqrt{(n-1)(n-3)}[/mm] erweitern.
Gruß Abakus
> also
> existiert der Grenzwert nicht.
>
> gebe ich das ganze bei Wolfram-Alpha ein wird der Grenzwert
> 2 ausgegeben, allerding ist der Lösungsweg sehr lang...
> was stimmt den nun?
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Hallo,
> ich habe folgende Folge und muss den Grenzwert ausrechnen (
> falls existent):
>
> [mm]a_n[/mm] = n*(1-
> [mm]\wurzel{1-\bruch{1}{n}}*\wurzel{1-\bruch{3}{n}})[/mm]
Bei solch einer Form sollten bei dir immer die Alarmglocken schrillen. Auch bei Termen mit einem Wurzelausdruck sollte man immer an die dritte binomische Formel denken. Daher ist eine Erweiterung mit [mm] (1+\wurzel{1-\bruch{1}{n}}*\wurzel{1-\bruch{3}{n}}) [/mm] sinnvoll.
>
>
> für n gegen unendlich bekomme ich unendlich raus, also
> existiert der Grenzwert nicht.
>
> gebe ich das ganze bei Wolfram-Alpha ein wird der Grenzwert
> 2 ausgegeben, allerding ist der Lösungsweg sehr lang...
> was stimmt den nun?
Ja, wolfram Alpha hat mit seiner Lösung Recht ;)
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