Grenzwert einer Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 17.01.2010 | | Autor: | isabel-f |
| Aufgabe | Zeige, dass die Folge an ( n soll unten stehen^^ ) mit an= [mm] (5^n [/mm] + [mm] 3(n))/5^n [/mm] konvergiert (monoton und beschränkt)
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Das mit der Monotonie hab ich selbst hinbekommen.
Jedoch weiß ich nicht, wie man den Grenzwert bestätigt. Die Vermutung ist ja 1, jedoch wie beweis ich das?
ich hab das mit der formel mit dem epsylon probiert.
also I a(n)-g I < Epsylon
jedoch konnte ich dann nicht auf n auflösen aufgrund der potenz. hat jemand eine idee, wie man diese aufgabe lösen kann?
danke!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo isabel-f und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Zeige, dass die Folge an ( n soll unten stehen^^ ) mit an=
> [mm](5^n[/mm] + [mm]3(n))/5^n[/mm] konvergiert (monoton und beschränkt)
>
Ich übersetze den Term mal mit unserem Formeleditor in einen lesbaren Term:
[mm] a_n=\frac{5^n+3n}{5^n}
[/mm]
richtig so?
als erstes würde ich den Bruch "ausrechnen", so bist du wohl auch auf den Grenzwert gekommen?
[mm] a_n=\frac{5^n+3n}{5^n}=1+\frac{3n}{5^n}
[/mm]
> Das mit der Monotonie hab ich selbst hinbekommen.
> Jedoch weiß ich nicht, wie man den Grenzwert bestätigt.
> Die Vermutung ist ja 1, jedoch wie beweis ich das?
> ich hab das mit der formel mit dem epsylon probiert.
> also I a(n)-g I < Epsylon
zu zeigen: zu jedem [mm] \epsilon [/mm] gibt es ein [mm] $n\in [/mm] N$ für das gilt: [mm] |a_n-g|<\epsilon
[/mm]
setze hier mal [mm] a_n [/mm] ein und überlege dann weiter.
> jedoch konnte ich dann nicht auf n auflösen aufgrund der
> potenz. hat jemand eine idee, wie man diese aufgabe lösen
> kann?
>
> danke!!!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 17.01.2010 | | Autor: | isabel-f |
ja danke, das stimmt so :)
ich habe das an schon eingesetzt, jedoch konnte ich dann, wie gesagt nicht auf n auflösen.
ich bin hängen geblieben bei
1/Epsylon < [mm] 5^n/3n [/mm] da ich nicht wusste, wie ich auf das n auflösen kann.
aber stimmt der ansatz so den grenzwert zu beweisen?
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Hallo isabel-f,
> ja danke, das stimmt so :)
>
>
> ich habe das an schon eingesetzt, jedoch konnte ich dann,
> wie gesagt nicht auf n auflösen.
> ich bin hängen geblieben bei
>
> 1/Epsylon < [mm]5^n/3n[/mm] da ich nicht wusste, wie ich auf das n
> auflösen kann.
> aber stimmt der ansatz so den grenzwert zu beweisen?
Schätze doch großzügig ab:
[mm] $\left|1+\frac{3n}{5^n}-1\right|=\frac{\red{3n}}{5^n}\red{\le}\frac{\red{3^n}}{5^n}=\left(\frac{3}{5}\right)^n$
[/mm]
Und das soll [mm] $<\varepsilon$ [/mm] sein, also
[mm] $\left(\frac{3}{5}\right)^n<\varepsilon$
[/mm]
Kannst du das nun nach $n$ auflösen und das gesuchte [mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] konstruieren?
Beachte: [mm] $\ln\left(\frac{3}{5}\right)<0$ [/mm] !
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 17.01.2010 | | Autor: | isabel-f |
nein, tut mir leid :(
ich verstehe den schritt von [mm] 3n/5^n [/mm] auf [mm] 3^n/5^n [/mm] nicht. wieso kann man das so umändern???
und wie das mit dem logarithmus zu lösen ist, hab ich leider auch nicht mehr in erinnerung :(
aber danke trotzdem!!!
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Hallo nochmal,
> nein, tut mir leid :(
> ich verstehe den schritt von [mm]3n/5^n[/mm] auf [mm]3^n/5^n[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nicht.
> wieso kann man das so umändern???
Das ist doch ne einfache, wenn auch grobe Abschätzung nach oben.
Es ist $3n\le 3^n$ für alle $n\in\IN$
Also kann ich doch $3n$ vergrößern, indem ich es durch $3^n$ ersetze.
Damit dann $\frac{3n}{5^n}\le\frac{3^n}{5^n}$
>
> und wie das mit dem logarithmus zu lösen ist, hab ich
> leider auch nicht mehr in erinnerung :(
Dann solltest du das dringendst nacharbeiten.
Du kannst es dir immer herleiten, wenn du bedenkst, dass du für $a>0$ schreiben kannst:
$a^b=e^{\ln\let(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
Hier also $\left(\frac{3}{5}\right)^n=e^{n\cdot{}\ln\left(\frac{3}{5}\right)}$
Und $e^{n\cdot{}\ln\left(\frac{3}{5}\right)}<\varepsilon$ solltest du nun aber wirklich nach n auflösen können ...
Gruß
schachuzipus
> aber danke trotzdem!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 17.01.2010 | | Autor: | isabel-f |
Ja ich weiß, dass ich da Nachholbedarf habe!
e^ln fällt ja weg, somit müsste nur noch n* (3/5) bleiben oder?
gibt es nur die möglichkeit mit dem epsylon, um den grenzwert zu beweisen, weil normalerweise kann man ja auch durch n teilen, aber das ist hier wegen der potenz nicht möglich, oder doch?
lg
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Hallo,
> Ja ich weiß, dass ich da Nachholbedarf habe!
> e^ln fällt ja weg, somit müsste nur noch n* (3/5)
> bleiben oder?
Schreibe das doch mal richtig auf, Mensch
[mm] $\left(\frac{3}{5}\right)^n<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{n\cdot{}\ln\left(\frac{3}{5}\right)}<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow n\cdot{}\ln\left(\frac{3}{5}\right)<\ln(\varepsilon)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] n ...$
Wie kannst du also dein gesuchtes [mm] $n(\varepsilon)$ [/mm] wählen?
>
> gibt es nur die möglichkeit mit dem epsylon, um den
> grenzwert zu beweisen, weil normalerweise kann man ja auch
> durch n teilen, aber das ist hier wegen der potenz nicht
> möglich, oder doch?
Möglichkeiten gibt es immer, wenn man weiß, dass [mm] $\frac{3n}{5^n}$ [/mm] gegen 0 strebt für [mm] $n\to\infty$, [/mm] kann man die Grenzwertsätze benutzen und im Ausgangsterm [mm] $5^n$ [/mm] ausklammern.
Das ist hier ja auch in informix' Antwort geschehen:
[mm] $\frac{5^n+3n}{5^n}=1+\frac{3n}{5^n}\longrightarrow [/mm] 1+0=1$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Das setzt wie gesagt voraus, dass man den letzteren GW kennt.
Ansonsten bleibt halt die [mm] $\varepsilon$-Def.
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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