Grenzwert einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen [mm] (n_{n})_{n\in\IN}
[/mm]
[mm] \wurzel[2]{4n^{2}-n+2} [/mm] - [mm] \wurzel[2]{3n^{2}+n-4} [/mm] |
Ich weiß, dass man da ein 'n' ausklammern kann
d.h.
n* [mm] (\wurzel[2]{4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}}} [/mm] - [mm] \wurzel[2]{3+\bruch{1}{n}-\bruch{4}{n^{2}}})
[/mm]
Und da n im [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = + [mm] \infty [/mm] ist wird die Folge [mm] \infty
[/mm]
Kann man das so stehen lassen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mo 03.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo rsprsp,
> Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen
> [mm](n_{n})_{n\in\IN}[/mm]
Ich sehe unten nur eine Folge.
> [mm]\wurzel[2]{4n^{2}-n+2}[/mm] - [mm]\wurzel[2]{3n^{2}+n-4}[/mm]
(Man setzt (übrigens)
[mm] \sqrt[2]{x}=:\sqrt{x} [/mm] für alle [mm] $x\ge 0\$.)
[/mm]
> Ich weiß, dass man da ein 'n' ausklammern kann
> d.h.
>
> n* [mm](\wurzel[2]{4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}}}[/mm] -
> [mm]\wurzel[2]{3+\bruch{1}{n}-\bruch{4}{n^{2}}})[/mm]
Richtig.
> Und da n im [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = + [mm]\infty[/mm] ist wird
> die Folge [mm]\infty[/mm]
Diese Argumentation würde ich nicht durchgehen lassen. Das muss
genauer passieren. Gegenbeispiel:
Mit [mm] a_n:=\left(n\right)_{n\in\IN} [/mm] und [mm] b_n:=\left(0\right)_{n\in\IN} [/mm] erhalten wir
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=\infty,
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}b_n=0.
[/mm]
Allerdings gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty}\left(a_n*b_n\right)=\lim_{n\to\infty}\left(n*0\right)=0.
[/mm]
Die Frage ist: Was passiert mit der Wurzelfunktion?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mo 03.11.2014 | | Autor: | rsprsp |
Da die Brüche gegen 0 laufen, laufen die Wurzelfunktionen gegen [mm] \wurzel{4} [/mm] bzw [mm] \wurzel{3} [/mm] d.h. sie müssen nicht wirklich berücksichtigt werden oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mo 03.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Da die Brüche gegen 0 laufen, laufen die Wurzelfunktionen
> gegen [mm]\wurzel{4}[/mm] bzw [mm]\wurzel{3}[/mm] d.h. sie müssen nicht
> wirklich berücksichtigt werden oder ?
Deine Argumentation basiert dann aber auf Grenzwertsätze, die du
nicht anwenden darfst (Wieso?).
Die Wurzelfunktion ist aber streng monoton steigend...
Ich würde übrigens lieber abschätzen (siehe Marcel's Antwort)
oder du zeigst direkt, dass die Folge nicht beschränkt ist.
Nimm dazu an, dass sie beschränkt ist (Kontraposition).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen
> [mm](n_{n})_{n\in\IN}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[2]{4n^{2}-n+2}[/mm] - [mm]\wurzel[2]{3n^{2}+n-4}[/mm]
schreibe
[mm] $\sqrt{4n^{2}-n+2}-\sqrt{3n^{2}+n-4}=\frac{(\sqrt{4n^{2}-n+2}+\sqrt{3n^{2}+n-4})*(\sqrt{4n^{2}-n+2}-\sqrt{3n^{2}+n-4})}{\sqrt{4n^{2}-n+2}+\sqrt{3n^{2}+n-4}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n^2-2n+6}{\sqrt{4n^{2}-n+2}+\sqrt{3n^{2}+n-4}}$
[/mm]
Bei der restlichen Argumentation ist diese [mm] "$n*\sqrt{...}$-Methode" [/mm] im Nenner
durchaus eine zielführende Idee. (Oder man guckt nach einer geeigneten
Abschätzung.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Di 04.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen
> [mm](n_{n})_{n\in\IN}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[2]{4n^{2}-n+2}[/mm] - [mm]\wurzel[2]{3n^{2}+n-4}[/mm]
> Ich weiß, dass man da ein 'n' ausklammern kann
> d.h.
>
> n* [mm](\wurzel[2]{4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}}}[/mm] -
> [mm]\wurzel[2]{3+\bruch{1}{n}-\bruch{4}{n^{2}}})[/mm]
>
> Und da n im [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = + [mm]\infty[/mm] ist wird
> die Folge [mm]\infty[/mm]
>
> Kann man das so stehen lassen ?
das kann man auch machen, aber da musst Du genauer werden:
Begründe, dass es ein $K [mm] \red{\,> 0\,}$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $\left|\wurzel{4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}}}-\wurzel{3+\bruch{1}{n}-\bruch{4}{n^{2}}}\right| \ge [/mm] K$
wenigstens für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] MIT $n [mm] \ge n_0$ [/mm] für ein geeignetes [mm] $n_0=n_0(K)\,.$
[/mm]
Grobgesagt kann man das machen, weil
der erste Summand unter dem Betragszeichen gegen [mm] $\sqrt{4}=2$
[/mm]
und
der zweite Summand unter dem Betragszeichen gegen [mm] $\sqrt{3} [/mm] < 2$
gehen wird. Das ist jetzt so die intuitive Idee, die man aber genauer
ausformulieren muss:
Das bedeutet nämlich, dass für etwa
[mm] $\epsilon:=(2-\sqrt{3})/2 [/mm] > 0$
gilt: ...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:25 Di 04.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rsprsp!
> Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Folgen
> [mm](n_{n})_{n\in\IN}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[2]{4n^{2}-n+2}[/mm] - [mm]\wurzel[2]{3n^{2}+n-4}[/mm]
> Ich weiß, dass man da ein 'n' ausklammern kann
> d.h.
>
> n* [mm](\wurzel[2]{4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}}}[/mm] -
> [mm]\wurzel[2]{3+\bruch{1}{n}-\bruch{4}{n^{2}}})[/mm]
>
> Und da n im [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] = + [mm]\infty[/mm] ist wird
> die Folge [mm]\infty[/mm]
>
> Kann man das so stehen lassen ?
Wie DieAcht schon schrieb, muss die Argumentation in der Tat genauer erfolgen.
Warum folgt aus
[mm] $\lim_{n\to\infty}(4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}})=4$
[/mm]
auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}\wurzel[2]{4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}}}=\wurzel{4}$?
[/mm]
Warum folgt aus
[mm] $\lim_{n\to\infty}(\wurzel[2]{4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}}}-\wurzel[2]{3+\bruch{1}{n}-\bruch{4}{n^{2}}})=\wurzel4-\wurzel3$
[/mm]
auch
[mm] $\lim_{n\to\infty}n*(\wurzel[2]{4-\bruch{1}{n}+\bruch{2}{n^{2}}}-\wurzel[2]{3+\bruch{1}{n}-\bruch{4}{n^{2}}})=+\infty$?
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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