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Forum "Folgen und Reihen" - Grenzwert e^{-1/t} / sqrt(t^3)
Grenzwert e^{-1/t} / sqrt(t^3) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert e^{-1/t} / sqrt(t^3): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:15 Do 30.09.2021
Autor: Chris84

Huhuuuu
Nach laengerer Zeit mal wieder eine Frage. Ich bin auf der Suche nach dem Grenzwert

[mm] $\lim\limit_{t\rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{\tau}{t}}}{\sqrt{t^3}}$ [/mm] fuer [mm] $\tau>0$. [/mm]

Wenn ich mir das Ding (fuer einige positive [mm] $\tau$ [/mm] plotte, sehe ich, dass der Grenzwert gegen 0 geht. Leider ist mir noch kein analytischer Beweis gelungen und auch Mathematica gibt mir "Indeterminate".

Wenn ich den Grenzwert anschaue, bekomme ich offenkundig einen Term der Form "0/0", also dachte ich an L'Hospital. Wenn ich allerdings L'Hospital benutze, bekomme ich

[mm] $\lim\limit_{t\rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{\tau}{t}}}{\sqrt{t^3}}=\frac{2\tau}{3} \lim\limit_{t\rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{\tau}{t}}}{\sqrt{t^5}}$, [/mm]

d.h. der Exponent des Radikanden erhoeht sich. Wenn ich nun den Grenzwert anschaue, bekomme ich wieder "0/0", also muesste man wieder L'Hospital anwenden. Dann waechst aber wieder der Exponent des Radikanden usw. usf.

Taylorreihe habe ich ueberlegt, aber dann waere die Frage, um was ich entwickeln soll? Sowohl die Wurzel als auch die Exponentialfunktion lassen sich nicht um 0 entwickeln.

Ansonsten fiele mir noch das Argument ein, dass die Exponentialfunktion immer (ab einem bestimmten $t$) ueber Potenzen dominiert. Umgekehrt wuerde [mm] $e^{-\frac{\tau}{t}}$ [/mm] irgendwann kleiner als [mm] $\sqrt{t^3}$ [/mm] fuer kleine $t$, also etwa

[mm] $e^{-\frac{\tau}{t}} \ll \sqrt{t^3} [/mm] $
[mm] $\Leftrightarrow \frac{e^{-\frac{\tau}{t}}}{\sqrt{t^3}} \ll [/mm] 1 $,
also
[mm] $\lim\limit_{t\rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{\tau}{t}}}{\sqrt{t^3}}$=0$, [/mm]
aber da fehlt mir noch der richtige Aufschrieb.

Irgendwelche Ideen?

Danke schonmal im Voraus,
Chris

P.S.: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt ;)

        
Bezug
Grenzwert e^{-1/t} / sqrt(t^3): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Do 30.09.2021
Autor: Gonozal_IX

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hiho,

erstmal halten wir fest, dass der Grenzwert $\lim_{t\to 0}$ eigentlich ein $\lim_{t\searrow 0}$ ist.
D.h. die Substitution $x = \frac{1}{t}$ ist wohldefiniert und wir erhalten

$ \lim\limit_{t\rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{\tau}{t}}}{\sqrt{t^3}} = \lim_{x\to\infty}  \sqrt{x^3} e^{-\tau x} =  \sqrt{\lim_{x\to\infty} \frac{x^3}{e^{2\tau x}}$

Kommst du jetzt alleine weiter?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Grenzwert e^{-1/t} / sqrt(t^3): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:41 Do 30.09.2021
Autor: Chris84


> Hiho,
>  
> erstmal halten wir fest, dass der Grenzwert [mm]\lim_{t\to 0}[/mm]
> eigentlich ein [mm]\lim_{t\searrow 0}[/mm] ist.
> D.h. die Substitution [mm]x = \frac{1}{t}[/mm] ist wohldefiniert und
> wir erhalten
>
> [mm]\lim\limit_{t\rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{\tau}{t}}}{\sqrt{t^3}} = \lim_{x\to\infty} \sqrt{x^3} e^{-\tau x} = \sqrt{\lim_{x\to\infty} \frac{x^3}{e^{2\tau x}}[/mm]
>  
> Kommst du jetzt alleine weiter?
>
> Gruß,
>  Gono


Super, danke, hilft sehr :)

Schoene Gruesse,
Chris

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