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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass die angegebenen Funktionen in dem jeweiligen Limes den Grenzwert 0 besitzen
[mm] a)\limes_{x \to \infty}x^k e^{-\alpha x} [/mm] =0, [mm] \alpha,k [/mm] >0
[mm] b)\limes_{x \to \infty}x^{-\alpha}lnx [/mm] =0, [mm] \alpha [/mm] >0
[mm] c)\limes_{x \to \0}x^{\alpha}lnx [/mm] =0, [mm] \alpha [/mm] >0
zu c) (x->0+) |
Hallo zusammen,
ich komme mal wieder nicht weiter bei dieser Aufgabe! Ich habe leider absolut keine Idee!
Hat mir vielleicht jemand einen Ansatz damit ich dann weitermachen kann
Ich wäre euch super dankbar für jeden Ansatz!
Viele Grüße
chipsy_101
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 Di 23.01.2007 | | Autor: | clwoe |
Hi,
man nutzt hier das Verhalten der Exponentialfunktion und der Logarithmusfunktion aus, um das zu zeigen. Keine Funktion wächst schneller und fällt schneller als die e-Funktion und keine andere Funktion wächst langsamer und fällt langsamer als die ln-Funktion. Die kann man als Argumentation verwenden.
Das bedeutet:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{k}e^{-\alpha x}=\limes_{x\rightarrow\infty}x^{k}\bruch{1}{\underbrace{e^{\alpha x}}_{\to 0}}=0 [/mm] Die e-Funktion geht wesentlich schneller gegen unendlich und somit der Bruch gegen 0 als die Funktion [mm] x^{k} [/mm] gegen unendlich geht.
b)
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{-\alpha}\ln{x}=\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{\underbrace{x^{\alpha }}_{\to 0}}\ln{x}=0, [/mm] da [mm] x^{\alpha} [/mm] wesentlich schneller gegen unendlich geht und somit der Bruch gegen 0 als die ln-Funktion gegen unendlich geht.
c)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\underbrace{x^{\alpha }}_{\to 0}\underbrace{\ln{x}}_{\to -\infty}=0
[/mm]
selbe Begründung wie oben auch.
Gruß,
clwoe
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 23.01.2007 | | Autor: | chipsy_101 |
Vielen vielen Dank für deine Hilfe!
Habs verstanden!!!!!
Daaaankeschön!
Viele Grüße
chipsy_101
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