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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Fr 21.06.2013 | | Autor: | poeddl |
| Aufgabe | Berechne den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0}ln(x)/x^{2} [/mm] |
Hallo,
ich habe bei obiger Aufgabe folgendes Problem.
Für [mm] \limes_{x\rightarrow\\0}ln(x) [/mm] folgt [mm] -\infty
[/mm]
Für [mm] \limes_{x\rightarrow\\0}1/x^{2} [/mm] folgt [mm] \infty
[/mm]
Dann würde ich doch den l'Hopital anwenden und komme auf folgendes:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{1/x}{2x}=\limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{1}{2x^{2}}
[/mm]
Daraus würde dann folgen, dass der Grenzwert [mm] \infty [/mm] ist.
In der Lösung steht nun allerdings als Grennzwert [mm] -\infty
[/mm]
Warum ist das so? Wo ist mein Denkfehler?
Vielen Dank für jegliche Hilfestellung!
Wünsche schon mal ein schönes Wochenende :)
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Hallo,
> Berechne den Grenzwert
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0}ln(x)/x^{2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe bei obiger Aufgabe folgendes Problem.
>
> Für [mm]\limes_{x\rightarrow\\0}ln(x)[/mm] folgt [mm]-\infty[/mm]
> Für [mm]\limes_{x\rightarrow\\0}1/x^{2}[/mm] folgt [mm]\infty[/mm]
>
> Dann würde ich doch den l'Hopital anwenden und komme auf
> folgendes:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{1/x}{2x}=\limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{1}{2x^{2}}[/mm]
>
> Daraus würde dann folgen, dass der Grenzwert [mm]\infty[/mm] ist.
> In der Lösung steht nun allerdings als Grennzwert
> [mm]-\infty[/mm]
>
> Warum ist das so? Wo ist mein Denkfehler?
Dein Denkfehler besteht darin, überhaupt die Regel anzuwenden. Man darf es hier nicht (weshalb?), und man benötigt es auch nicht. Der ln strebt für x->0 bekanntlich gegen [mm] -\infty, [/mm] und das reicht doch hier völlig aus, um das Minuszeichen zu erklären: zwar strebt der Nenner gegen Null, aber von oben her!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:27 Fr 21.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
danke für deine Antwort!
Ich darf die Regel nicht anwenden, weil ich den Fall -unendlich / null habe.
Jetzt, wo du es sagst...
Aber irgendwie kann ich mir gerade nicht erklären, warum es minus unendlich ist. Ich habe -unendlich/0 das ist ja dann nicht definiert, bzw. sagt man hier "es geht gegen null, wird aber nie null", also ist der Ausdruck definiert?
Gruß
poeddl
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Hallo,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort!
> Ich darf die Regel nicht anwenden, weil ich den Fall
> -unendlich / null habe.
> Jetzt, wo du es sagst...
Richtig: die Regel darf <u>aqusschließlich</i> auf den Fall 0/0 angewendet werden.
>
> Aber irgendwie kann ich mir gerade nicht erklären, warum
> es minus unendlich ist. Ich habe -unendlich/0 das ist ja
> dann nicht definiert, bzw. sagt man hier "es geht gegen
> null, wird aber nie null", also ist der Ausdruck
> definiert?
Der Ausdruck ist wohldefiniert, wie man so schön sagt. Schon bspw. die Funktion
[mm] g(x)=\bruch{-1}{x^2}
[/mm]
würde für x->0 gegen [mm] -\infty [/mm] streben. Wenn du jetzt die -1 im Zähler durch etwas ersetzt, was gegen [mm] -\infty [/mm] strebt, was bewirkt das dann wohl?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Sa 22.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo,
wenn ich die -1 ersetze würde der gesamte Ausdruck weiterhin gegen -unendlich streben?
Beispielsweise [mm] ln(x)/x^2 [/mm] geht für x gegen 0 gegen -unendlich.
Hier muss ich doch aber (da ich den Fall -unendlich / -unendlich habe) erstmal l'hopital anwenden oder?
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Hallo poeddl,
> Hallo,
>
> wenn ich die -1 ersetze würde der gesamte Ausdruck
> weiterhin gegen -unendlich streben?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beispielsweise [mm]ln(x)/x^2[/mm] geht für x gegen 0 gegen
> -unendlich.
> Hier muss ich doch aber (da ich den Fall -unendlich /
> -unendlich habe) erstmal l'hopital anwenden oder?
Nein auf beide Fragen. Erstens liegt hier nicht der undefinierte Fall
[mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
vor, sondern
[mm] \bruch{\infty}{0}
[/mm]
und zweitens, und das solltest du dir unbedingt noch klarmachen: die Regel von de l'Hospital gilt ausschließlich für den Fall
[mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Andere undefinierte Ausdrücke müssen zunächst umgeformt werden, so lange bis sie eben vom Typ 0/0 sind. Was passiert, wenn man das nicht beachtet, kann man an folgendem ![[]](/images/popup.gif) Beispiel einsehen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Sa 22.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo!
Oh je, da habe ich schon wieder den gleichen Fehler gemacht, wie zuvor.
Natürlich liegt der Fall unendlich / null vor...
Keine Ahnung wie ich darauf komme, ich könnte den l'Hopital auch bei unendlich/unendlich anwenden.
Ich danke dir für deine Geduld! Habe ich wieder etwas gelernt, vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo poeddl!
Auch bei dem Fall [mm] $\bruch{\infty}{\infty}$ [/mm] darfst Du  de l'Hospital anwenden.
Aber dieser Fall liegt in Deiner Aufgabe nicht vor.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Sa 22.06.2013 | | Autor: | poeddl |
Hallo!
Dann muss ich jetzt doch nochmal nachfragen.
Darf ich dann auch bei [mm] \bruch{-\infty}{-\infty} [/mm] oder [mm] \bruch{-\infty}{+\infty} [/mm] den l'Hopital anwenden?
Gruß
poeddl
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Hallo poeddl,
> Hallo!
> Dann muss ich jetzt doch nochmal nachfragen.
>
> Darf ich dann auch bei [mm]\bruch{-\infty}{-\infty}[/mm] oder
> [mm]\bruch{-\infty}{+\infty}[/mm] den l'Hopital anwenden?
>
Da muss ich mich entschuldigen, das hatte ich falsch im Kopf. Man darf die Regel auf die beiden von dir genannten Fälle (die ein und der selbe Fall sind, was die Regel von de l'Hospital angeht) auch anwenden.
Gruß, Diophant
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