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Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Mo 11.11.2013
Autor: Johanna-Laura

Hallo zusammen!

könnte mir jemand erklären warum der Grenzwert von [mm] \frac{1}{6} \sum_{p=0}^{n-1}~(\frac{5}{6} ^{2})^{p} [/mm] sich so
[mm] \frac{1-( (\frac{5}{6})^ {2})^{n}}{1-(\frac{5}{6})^ {2}} [/mm] * 1/6  berechnen lässt?
Ist das irgendein bestimmter Trick um den Grenzwert zu berechen?

Vielen Dank für Antworten! :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:17 Mo 11.11.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo zusammen!
>  
> könnte mir jemand erklären warum der Grenzwert    [haee]

> von     [mm]\frac{1}{6} \sum_{p=0}^{n-1}(\frac{5}{6} ^{2})^{p}[/mm] sich so

>      [mm]\frac{1-( (\frac{5}{6})^ {2})^{n}}{1-(\frac{5}{6})^ {2}}\ *\ 1/6[/mm]

> berechnen lässt?
>  Ist das irgendein bestimmter Trick um den Grenzwert zu
> berechnen?



Hallo Johanna-Laura,

              [willkommenmr]

da scheint ein Exponent verrutscht zu sein oder ein
Klammerpaar zu fehlen. Sollte da nicht stehen:

         [mm] $\frac{1}{6} \sum_{p=0}^{n-1}\left(\left(\frac{5}{6}\right) ^{2}\right)^{p}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1-( (\frac{5}{6})^ {2})^{n}}{1-(\frac{5}{6})^ {2}}\ [/mm] *\  [mm] \frac{1}{6}$ [/mm]

Natürlich kann man auf beiden Seiten der Gleichung
mit 6 multiplizieren bzw. den Faktor  [mm] \frac{1}{6} [/mm]  weglassen:

         [mm] $\sum_{p=0}^{n-1}\left(\left(\frac{5}{6}\right) ^{2}\right)^{p}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1-( (\frac{5}{6})^ {2})^{n}}{1-(\frac{5}{6})^ {2}}$ [/mm]

Im Übrigen wurde hier einfach die Summenformel für
eine geometrische Zahlenfolge mit dem Quotienten  $\ q\ =\ [mm] \left(\frac{5}{6}\right) [/mm] ^{2}$
angewandt:  []Herleitung

Ferner:  Hier wurde noch überhaupt kein Grenzwert
(Limes) bestimmt, sondern nur der Wert der Summe
von n Gliedern einer Zahlenfolge.

LG ,    Al-Chw.


Bezug
                
Bezug
Grenzwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mo 11.11.2013
Autor: Johanna-Laura

ah okay, danke! Jetzte habe ich leider noch eine Verständnisproblem bei der geometrischen Reihe.

Ich habe mir die Herleitung auf Wikipedia angeschaut. Hier findet man dann in der letzten Zeile im Zähler des Bruches [mm] q^n^+^1 [/mm]

Jetzt frage ich mich ob nicht in dem vorherigen Bespiel

$ [mm] \sum_{p=0}^{n-1}\left(\left(\frac{5}{6}\right) ^{2}\right)^{p}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1-( (\frac{5}{6})^ {2})^{n}}{1-(\frac{5}{6})^ {2}} [/mm] $

im Exponenten auf der rechten Seite nicht nur n stehen muss sondern n+1?

  
Bezug
                        
Bezug
Grenzwert bestimmen: Exponent korrekt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Mo 11.11.2013
Autor: Loddar

Hallo Johanna-Laura!


> Jetzt frage ich mich ob nicht in dem vorherigen Bespiel
>
> [mm]\sum_{p=0}^{n-1}\left(\left(\frac{5}{6}\right) ^{2}\right)^{p}\ =\ \frac{1-( (\frac{5}{6})^ {2})^{n}}{1-(\frac{5}{6})^ {2}}[/mm]
>
> im Exponenten auf der rechten Seite nicht nur n stehen muss sondern n+1?

Nein, der Exponent $n_$ auf der rechten Seite ist korrekt.
Bedenke, dass Deine Summe nur bis $n-1_$ läuft und nicht bis $n_$ wie in der Formel aus der Wikipedia.
In Deiner Aufgabe haben wir also einen Summanden weniger, daher auch nur $n_$ auf der rechten Seite der Formel.


Gruß
Loddar
Bezug
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