Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen [mm] (x_{n})_{n\inN} [/mm] mit
(a) [mm] x_{n}=\bruch{(n + 2)^3 − (n - 2)^3}{2n^2 + 3}
[/mm]
(b) [mm] x_{n}=\bruch{\wurzel{n} - n}{n\wurzel{n} + 2n}
[/mm]
(c) [mm] x_{n} =\bruch{cos(\bruch{\pi}{2}n)}{2^n}
[/mm]
(d) [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n^2 + 2} [/mm] − n
Tipp: [mm] \wurzel{n^2 + 2} [/mm] − n = [mm] \bruch{(\wurzel{n^2 + 2} - n)(\wurzel{n^2 + 2} + n)}{\wurzel{n^2 + 2} + n} [/mm] |
Und mal wieder ne Frage:
Einfach den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] anstelle der [mm] x_{n} [/mm] zu setzen wird ja sicherlich nicht die Lösung sein, oder?
In der Schule haben wir dann nur durchgenommen, dass wir für jedes n untersuchen sollen, ob es gegen null oder [mm] \pm \infty. [/mm] Ist das hier auch gefragt oder muss ich hier anders vorgehen? Unser prof hat da nicht wirklich was zu gesagt, zumindest nicht, dass ich es verstanden hätte und in den Übungen haben wir noch keine solche Aufgabe behandelt.
Vielleicht kann mir einer anhand einer der Aufgaben oben erklären, wie man vorgeht?
Grüße,
Sebastian
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Hallo Sebastian!
Bei Folgen ist mit Grenzwert in 99,9999% aller Fälle [mm] $\limes_{n\rightarrow\red{\infty}}$ [/mm] gemeint.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Di 22.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Sebastian!
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> Bei Folgen ist mit Grenzwert in 99,9999% aller Fälle
> [mm]\limes_{x\rightarrow\red{\infty}}[/mm] gemeint.
Das ist ja mehr als bei jedem Vaterschaftstest !
Trotzdem: [mm]\limes_{\blue{n} \rightarrow\infty}[/mm]
FRED
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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Ok, hab ich mir gedacht. Heißt das dann bspw für a) folgendes:
[mm] x_{n}=\bruch{(n + 2)^3 − (n - 2)^3}{2n^2 + 3}
[/mm]
schreib ich dann so: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n + 2)^3 - (n - 2)^3}{2n^2 + 3}
[/mm]
Der Zähler müsste ja dann, wenn man bspw 1 einsetzen würde, positiv bleiben und der Nenner ebenfalls, oder nicht? Reicht das so? Bzw wie schreibe ich das auf?
Und muss ich auch noch gegen [mm] -\infty [/mm] betrachten?
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Hallo Silestius,
> Ok, hab ich mir gedacht. Heißt das dann bspw für a)
> folgendes:
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> [mm]x_{n}=\bruch{(n + 2)^3 − (n - 2)^3}{2n^2 + 3}[/mm]
>
> schreib ich dann so: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n + 2)^3 - (n - 2)^3}{2n^2 + 3}[/mm]
>
> Der Zähler müsste ja dann, wenn man bspw 1 einsetzen
> würde, positiv bleiben und der Nenner ebenfalls, oder
> nicht? Reicht das so? Bzw wie schreibe ich das auf?
Den Zähler mußt Du schon ausrechnen,
damit Du den Grenzwert bestimmen kannst.
> Und muss ich auch noch gegen [mm]-\infty[/mm] betrachten?
Gruss
MathePower
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> Den Zähler mußt Du schon ausrechnen,
> damit Du den Grenzwert bestimmen kannst.
>
>
> > Und muss ich auch noch gegen [mm]-\infty[/mm] betrachten?
>
>
> Gruss
> MathePower
So, hab ich getan. Ergebnis ist: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3}
[/mm]
Kann ich da raus jetzt schließen, dass es gegen [mm] +\infty [/mm] geht? Schließlich ist da ja [mm] x^2, [/mm] was automatisch positiv wäre.
Das wäre dann auch mein Ergebnis? oder muss ich da noch mehr schreiben/beweisen?
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Hallo Silestius,
> > Den Zähler mußt Du schon ausrechnen,
> > damit Du den Grenzwert bestimmen kannst.
> >
> >
> > > Und muss ich auch noch gegen [mm]-\infty[/mm] betrachten?
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> So, hab ich getan. Ergebnis ist:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kann ich da raus jetzt schließen, dass es gegen [mm]+\infty[/mm]
> geht? Schließlich ist da ja [mm]x^2,[/mm] was automatisch positiv
> wäre.
> Das wäre dann auch mein Ergebnis? oder muss ich da noch
> mehr schreiben/beweisen?
Da musst Du jetzt noch etwas mehr machen.
Klammere zunächst [mm]n^{2}[/mm] aus Zähler und Nenner aus.
Lasse dann [mm]n \to \infty[/mm] streben.
Gruss
MathePower
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> Da musst Du jetzt noch etwas mehr machen.
>
> Klammere zunächst [mm]n^{2}[/mm] aus Zähler und Nenner aus.
>
> Lasse dann [mm]n \to \infty[/mm] streben.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ah, ok. Also dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3}
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(12+\bruch{16}{n^2})}{n^2(2+\bruch{3}{n^2})}
[/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12+\bruch{16}{n^2}}{2+\bruch{3}{n^2}} [/mm] (-> hab ich einfach [mm] n^2 [/mm] gekürzt)
Und wenn ich das jetzt gegen [mm] +\infty [/mm] laufen lasse, heißt das ja, dass der Zähler gegen 12 läuft und der Nenner gegen 2, oder? Da die Brüche ja immer kleiner werden.
Und dann wäre der Grenzwert [mm] \bruch{12}{2}? [/mm] oder mach ich es mir wieder zu einfach?^^
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Hallo Silestius,
> > Da musst Du jetzt noch etwas mehr machen.
> >
> > Klammere zunächst [mm]n^{2}[/mm] aus Zähler und Nenner aus.
> >
> > Lasse dann [mm]n \to \infty[/mm] streben.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Ah, ok. Also dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3}[/mm]
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(12+\bruch{16}{n^2})}{n^2(2+\bruch{3}{n^2})}[/mm]
>
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12+\bruch{16}{n^2}}{2+\bruch{3}{n^2}}[/mm]
> (-> hab ich einfach [mm]n^2[/mm] gekürzt)
>
> Und wenn ich das jetzt gegen [mm]+\infty[/mm] laufen lasse, heißt
> das ja, dass der Zähler gegen 12 läuft und der Nenner
> gegen 2, oder? Da die Brüche ja immer kleiner werden.
>
> Und dann wäre der Grenzwert [mm]\bruch{12}{2}?[/mm] oder mach ich
> es mir wieder zu einfach?^^
Nein, Du hast jetzt alles richtig gemacht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 22.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Da musst Du jetzt noch etwas mehr machen.
> >
> > Klammere zunächst [mm]n^{2}[/mm] aus Zähler und Nenner aus.
> >
> > Lasse dann [mm]n \to \infty[/mm] streben.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Ah, ok. Also dann
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12n^2+16}{2n^2+3}[/mm]
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^2(12+\bruch{16}{n^2})}{n^2(2+\bruch{3}{n^2})}[/mm]
>
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12+\bruch{16}{n^2}}{2+\bruch{3}{n^2}}[/mm]
> (-> hab ich einfach [mm]n^2[/mm] gekürzt)
>
> Und wenn ich das jetzt gegen [mm]+\infty[/mm] laufen lasse, heißt
> das ja, dass der Zähler gegen 12 läuft und der Nenner
> gegen 2, oder? Da die Brüche ja immer kleiner werden.
>
> Und dann wäre der Grenzwert [mm]\bruch{12}{2}?[/mm] oder mach ich
> es mir wieder zu einfach?^^
jein; aber das ist schon korrekt. Du solltest dennoch beachten, dass da eigentlich ![[]](/images/popup.gif) gewisse Rechenregeln für konvergente Folgen (Satz 5.5) zum Tragen kommen:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{12+\bruch{16}{n^2}}{2+\bruch{3}{n^2}}\;\;\underset{Satz\;\;5.5.3}{=}\;\;\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(12+\bruch{16}{n^2}\right)}{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(2+\bruch{3}{n^2}\right)}\;\;\underset{Satz\;\;5.5.1}{=}\;\;\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}12+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{16}{n^2}}{\limes_{n\rightarrow\infty}2+\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{n^2}}\;\;=\;\;\frac{12+0}{6+0}\;\;=\;\;\frac{12}{2}\;\;=\;\;6\,.$$
[/mm]
Dabei ist es - wenn man den Satz 5.5 vernünftig liest - eigentlich so, dass man diese Gleichungskette am besten von rechts nach links liest, um wirklich zu verstehen, wie dieser Satz hier angewendet wird.
(Das man z.B. [mm] $\lim_{n \to \infty}\left(12+\frac{16}{n^2}\right)=\lim_{n \to \infty}12+\lim_{n \to \infty}\frac{16}{n^2}$ [/mm] schreiben kann, weiß man ja mithilfe dieses Satzes erst, wenn bekannt ist, dass sowohl die Folge [mm] $(12)_{n \in \IN}$ [/mm] als auch die Folge [mm] $\left(\frac{16}{n^2}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] konvergiert.)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Di 22.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Das ergibt sogar für mich Sinn.^^
Auch wenn ich darauf so nicht kommen würde. Generell mein Problem bei Mathe (was an der Schule aber noch nicht so auffiel).
Danke für die Erklärung und die ganze Hilfe hier!:)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Di 22.09.2009 | | Autor: | Marcel |
> Ok, hab ich mir gedacht. Heißt das dann bspw für a)
> folgendes:
>
> [mm]x_{n}=\bruch{\red{(n + 2)^3 − (n - 2)^3}}{2n^2 + 3}[/mm]
bei Deiner Verwendung des Bindestriches wird dieser nicht als Minuszeichen dargestellt. Anstatt
$$(n + [mm] 2)^3 [/mm] − (n - [mm] 2)^3$$
[/mm]
schreibe also bitte
$$(n + [mm] 2)^3 [/mm] - (n - [mm] 2)^3\,.$$
[/mm]
Dass Du dies so meinst, ergibt sich aus dem weiteren Threadverlauf oder durch Anklicken der Formel; aber nicht jeder macht sich die Mühe, das zu kontrollieren.
Tipp:
Kontrolliere deine Aufgaben/Formeln bzw. die Darstellung mit der Vorschau!
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte der Folgen $ [mm] (x_{n})_{n\inN} [/mm] $ mit
(b) $ [mm] x_{n}=\bruch{\wurzel{n} - n}{n\wurzel{n} + 2n} [/mm] $
(c) $ [mm] x_{n} =\bruch{cos(\bruch{\pi}{2}n)}{2^n} [/mm] $
(d) $ [mm] x_{n} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{n^2 + 2} [/mm] $ − n
Tipp: $ [mm] \wurzel{n^2 + 2} [/mm] $ − n = $ [mm] \bruch{(\wurzel{n^2 + 2} - n)(\wurzel{n^2 + 2} + n)}{\wurzel{n^2 + 2} + n} [/mm] $ |
So, nachdem ich die a) ja jetzt durch die ganze Hilfe hier gut gelöst hab, stellen sich natürlich noch Fragen zu den anderen drei Teilaufgaben:
zu b): Ich hab mir überlegt, ob man hier einfach quadrieren könnte, um die Wurzeln zu entfernen und dann bereits zu einer Lösung kommen könnte? Bzw dann halt wieder [mm] n^2 [/mm] ausklammern?
Also so:
[mm] x_{n}=\bruch{\wurzel{n} - n}{n\wurzel{n} + 2n} |^2
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{n}-n)^2}{(n\wurzel{n}+2n)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{n-2\wurzel{n}n+n^2}{n^3+4n^2\wurzel{n}+4n^2}
[/mm]
Aber damit hätte ich ja wieder [mm] \wurzel{n} [/mm] Die wollte ich ja eigentlich weg haben (ob's nötig ist oder nicht, keine Ahnung^^)
bei d) bleibt ja, wenn man den Tipp benutzt, ebenfalls die Wurzel bestehen. Deshalb weiß ich da auch nicht weiter.
und bei c) weiß ich gar nicht anzufangen.
Würde mich über weitere Hilfe freuen.:)
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Hallo,
bei b.) klammere n aus und kürze, dies ergibt:
[mm] $$\frac{\frac{1}{\wurzel{n}}-1}{\wurzel{n}+2}$$
[/mm]
Mache nun den Grenzübergang.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Ah, okay. Hat geklappt.:) Danke!
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Hast du wirklich mal den Nenner ausmultipliziert?
Dann solltest du es eigentlich sehen....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Mi 23.09.2009 | | Autor: | Silestius |
Ich hab mich letzte Nacht nochmal reingehängt und hab's nun... Manchmal ist man blind.^^
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Bedenke:
[mm] $$|\cos(z)|\le [/mm] 1 [mm] \; \forall z\in \IR$$
[/mm]
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![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]"){kind=small}
