Grenzwert bestimmen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Fr 11.01.2008 | | Autor: | macio |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge auf Konvergenz und Divergenz!
[mm] a_n [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm] * [mm] (\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n}) [/mm] |
Hallo! Ich weis nicht wie ich bei der Aufgabe anfangen soll... Kann mir da einer vielleicht ein Tipp geben!
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Hey!
> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge auf Konvergenz und
> Divergenz!
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\wurzel{n}[/mm] * [mm](\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n})[/mm]
> Hallo! Ich weis nicht wie ich bei der Aufgabe anfangen
> soll... Kann mir da einer vielleicht ein Tipp geben!
Erweitere als erstes mit [mm](\wurzel{n+1}[/mm] + [mm]\wurzel{n})[/mm] und versuche dann [mm] \wurzel{n} [/mm] zu kürzen.
Bei solchen Aufgaben sollten man bei solchen Folgen immer mal als erstes versuchen, mit der 3.Binomischen Formel zu erweitern.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Fr 11.01.2008 | | Autor: | macio |
also...
[mm] \wurzel{n} [/mm] * [mm] (\wurzel{n+1} -\wurzel{n})* \bruch{(\wurzel{n+1} +\wurzel{n})}{(\wurzel{n+1} +\wurzel{n})}
[/mm]
= [mm] \bruch{\wurzel{n}}{(\wurzel{n+1} +\wurzel{n})}
[/mm]
Bis jetzt so weit ok?
Wie kann ich denn jetzt [mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammern?
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> also...
>
> [mm]\wurzel{n}[/mm] * [mm](\wurzel{n+1} -\wurzel{n})* \bruch{(\wurzel{n+1} +\wurzel{n})}{(\wurzel{n+1} +\wurzel{n})}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\wurzel{n}}{(\wurzel{n+1} +\wurzel{n})}[/mm]
>
> Bis jetzt so weit ok?
Ja, sehr gut! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kann ich denn jetzt [mm]\wurzel{n}[/mm] ausklammern?
Es gilt: [mm] \wurzel{n}*\wurzel{1+\bruch{1}{n}}=\wurzel{1+n}
[/mm]
Dann kannst du im Nenner die Wurzel ausklammern und anschließend kürzen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 11.01.2008 | | Autor: | macio |
also...
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}} + \wurzel{n}}
[/mm]
jetzt [mm] n\to\infty [/mm] :
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{0}} + \wurzel{\infty}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{1} + \infty}
[/mm]
[mm] =\bruch{1} {\infty}
[/mm]
= 0
Also ist das eine Nullfolge! Stimmts ?
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> also...
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> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}} + \wurzel{n}}[/mm]
Ohh..Aus Summen kürzen nur die ....
Wie ich vorhin schon sagte musst du aus dem Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] ausklammern. [mm] \wurzel{n}*(\wurzel{1+\bruch{1}{n}} [/mm] + 1)
>
> jetzt [mm]n\to\infty[/mm] :
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{0}} + \wurzel{\infty}}[/mm]
>
Hier ist die Schreibweise übrigens sehr komisch. [mm] \bruch{1}{0} [/mm] ist in der Mathematik nicht erklärt. Du solltest hier die Grenzwertsätze anwenden, jeden Summanden einzeln betrachten und dann sagen, dass gilt: [mm] \bruch{1}{n} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
Aber wie gesagt, erstmal musst du oben richtig kürzen.
> [mm]=\bruch{1}{\wurzel{1} + \infty}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1} {\infty}[/mm]
>
> = 0
>
> Also ist das eine Nullfolge! Stimmts ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Fr 11.01.2008 | | Autor: | macio |
ja hab mich verschrieben. anstatt [mm] \bruch{1}{0} [/mm] wollte ich [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] schreiben, ist mir erst dann aufgefalln, als ich meine Antwort gepostet habe! Zurück zur Aufgabe:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}} + 1}
[/mm]
Jetzt [mm] n\to\infty:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1+\bruch{1}{\infty}} + 1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{1 }+ 1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}
[/mm]
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Jetzt stimmts! 
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Fr 11.01.2008 | | Autor: | macio |
OK!! Vielen Dank
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