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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Do 08.12.2016 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{2}*(1-cos(\bruch{1}{x})) [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe eine kurze Rückfrage zu der o.g. Aufgabe.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{2}*(1-cos(\bruch{1}{x}))
[/mm]
Zunächst habe ich den Ausdruck einmal abgeleitet und komme dann auf folgendes Ergebnis:
[mm] 2x*(1-cos(\bruch{1}{x}))+x^{2}*(\bruch{-sin(\bruch{1}{x})}{x^{2}}) [/mm] = [mm] 2x*(1-cos(\bruch{1}{x}))-\bruch{x^{2}*sin(\bruch{1}{x})}{x^{2}} [/mm] = [mm] 2*(1-cos(\bruch{1}{x}))x-sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Jetzt denke ich - da [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] - folgendes möglich ist:
[mm] 2*(1-cos(\bruch{1}{\infty}))\infty-sin(\bruch{1}{\infty}) [/mm] = [mm] 2*(1-cos(0))\infty-sin(0) [/mm] = [mm] 2*(1-1)\infty-0 [/mm] = [mm] 2*0*\infty-0 [/mm] = 0 - 0 = 0
Ist das so richtig bzw. auch möglich, oder habe ich etwas übersehen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Do 08.12.2016 | | Autor: | luis52 |
Moin, in deiner Rechnung erscheint [mm] $0\cdot\infty$, [/mm] was nicht definiert ist. In der Tat, Mathematica zeigt den Grenzwert $1/2$ an. Ich meine, du kommst auf die Fuesse, wenn du zunaechst schreibst:
[mm] $x^{2}\cdot{}(1-\cos(\bruch{1}{x}))=\frac{ 1-\cos(\bruch{1}{x})}{1/x^{2}}$ [/mm]
In der Grenze ist das ein Ausdruck der Form $0/0$. Wende nun die Regel von Hopital an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Di 27.12.2016 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Ich komme leider nicht wirklich weiter :(
Ich weiß, dass die Regel von l´Hopital mir ja erlaubt Zähler und Nenner unabhängig voneinander abzuleiten.
Ich habe nun schon einige Sachen probiert - ich komme aber niemals auf die Lösung von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] .
Auch die andere Schreibweise von fred in der zweiten Antwort kann ich nicht wirklich nachvollziehen.
Könnt ihr mir da bitte noch etwas "Starthilfe" geben?
Vielen Dank :)
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Hallo,
> Ich komme leider nicht wirklich weiter :(
Dann solltest du angesichts der bereits gegebenen zielführenden Antworten einen eigenen Versuch präsentieren. Oder zumindest eine präzisere Frage stellen als 'ich komme nicht weiter'*.
> Ich weiß, dass die Regel von l´Hopital mir ja erlaubt
> Zähler und Nenner unabhängig voneinander abzuleiten.
Offensichtlich hast du diese Regel noch nicht wirklich verstanden. Sie gilt nur unter einer ganz bestimmten Voraussetzung, aber das wurde in der Antwort von luis52 schon angesprochen.
> Ich habe nun schon einige Sachen probiert - ich komme aber
Was? Also: was hast du probiert?
> niemals auf die Lösung von [mm]\bruch{1}{2}[/mm] .
>
> Auch die andere Schreibweise von fred in der zweiten
> Antwort kann ich nicht wirklich nachvollziehen.
>
> Könnt ihr mir da bitte noch etwas "Starthilfe" geben?
Nimm den Weg von Fred. Er hat einfach die Substitution
[mm] t=\frac{1}{x}
[/mm]
verwendet und dann einmal de l'Hospital. An dieser Stelle verwendet er einen als bekannt vorausgesetzten Grenzwert.
Alternativ, mit der Regel von de l'Hospital: du musst die Regel zweimal anwenden, denn nach dem ersten Schritt steht immer noch 0/0 da.
* Dieser Satz gehört im Rahmen der Mathematik verboten.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Do 05.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort!
$ [mm] x^{2}\cdot{}(1-\cos(\bruch{1}{x}))=\frac{ 1-\cos(\bruch{1}{x})}{1/x^{2}} [/mm] $
Nun habe ich jeweils Zähler und Nenner getrennt voneinander abgekeitet:
erstes mal:
[mm] \bruch{\bruch{-sin(\bruch{1}{x})}{x^2}}{-\bruch{2}{x^3}}
[/mm]
zweites mal:
[mm] \bruch{\bruch{2sin(\bruch{1}{x})x+cos(\bruch{1}{x})}{x^4}}{\bruch{6}{x^4}}
[/mm]
Was mache ich denn falsch ?
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Hallo Dom,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort!
>
> [mm]x^{2}\cdot{}(1-\cos(\bruch{1}{x}))=\frac{ 1-\cos(\bruch{1}{x})}{1/x^{2}}[/mm]
>
> Nun habe ich jeweils Zähler und Nenner getrennt
> voneinander abgekeitet:
>
> erstes mal:
>
> [mm]\bruch{\bruch{-sin(\bruch{1}{x})}{x^2}}{-\bruch{2}{x^3}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zweites mal:
Das geht so nicht, in dem Term, den du nach dem ersten Ableiten erhalten hast, kannst du so ohne weiteres die Regel von de l'Hôpital nicht anwenden ...
Du hast im Zähler des Doppelbruchs ja schon Murks beim Grenzübergang: "[mm]0/\infty[/mm]"
Vereinfache erstmal (kürzen)
Dann solltest du auf [mm]\frac{x\cdot{}\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{2}[/mm] kommen.
Dies nun wieder zuerst in eine Form bringen, auf die man de l'Hôpital loslassen kann ...
Sprich: das x aus dem Zähler in den Nenner bringen ...
>
> [mm]\bruch{\bruch{2sin(\bruch{1}{x})x+cos(\bruch{1}{x})}{x^4}}{\bruch{6}{x^4}}[/mm]
>
> Was mache ich denn falsch ?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:36 Do 05.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Jetzt hat es funktioniert :)
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Fr 09.12.2016 | | Autor: | fred97 |
Einfacher:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{2}\cdot{}(1-cos(\bruch{1}{x}))= \limes_{t \rightarrow 0}\frac{1- \cos(t)}{ t^2}=\limes_{t \rightarrow 0}\frac{\sin(t)}{ 2t}=\frac{1}{2}$
[/mm]
Beim vorletzten "=" wurde l'Hospital benutzt und beim letzten"=" die bekannte Beziehung [mm] $\limes_{t \rightarrow 0}\frac{\sin(t)}{ t}=1$
[/mm]
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